2018年10月31日

8人を2組に分ける方法は何通りか

中2の数学授業で、ちょうど組合せ(nCr)の基本が終わったので、残り5分で、
『8人を2組に分ける方法は何通りか』
という問題を出し、「時間が来たら宿題ね」、と言って考えさせてみた。


この問題は有名問題で、数研出版の数学Tの問題集4STEPの例題にもなっている。

解き方は二通りある。

一つ目は、8人を、1人と7人、2人と6人、3人と5人、4人と4人に分けて、その組合せを合計する方法。
この方法では、4人と4人に分けたときに、入れ替え分まで含めて余分にカウントされてしまうので、ここの部分だけ1/2にしなくていけない。

もう一つは、とにかくAとB2グループに分けてしまい、全部A、全部Bに入ってしまった分を引く。さらに、AとBの区別をなくして計算するという方法だ。

生徒たちは、両方の方法を見つけたようで、休み時間になっても、あれこれと議論していた。

授業中は、正しく計算できた生徒はいなかったが、おそらく考えているうちに、正しい値を導き出すことができるだろう。

場合の数の問題は、ある意味、発想の転換が必要になる。
授業で、先生が説明ばかりしてしまえば、生徒はそれに気づくことなく、ただ例題の解法暗記になってしまう。だから、こんな宿題も時には面白い。

授業中、
『男子6人、女子4人から4人を選ぶとき、少なくとも1人女子が含まれる選び方は何通りか』
という問題を解いた。

その時、9C3で求められないか、という解答があった。

実際は、余事象で解く。「『全員男子』ではない」と考え、全体から全員男子の場合を引く。
または、女子が1人のとき、女子が2人のとき、女子が3人のとき、女子が4人のときを、それぞれ求めて合計する。

どう考えても良いのだが、大切なことは、
『要するにどういうこと?』
という自問自答をすることだ。

かつて私が高校3年生だったとき、予備校で寺田文行氏の講義を受けたことがある。

そのとき、
『〜とは』
を考えよ。と、何度も強調されていた。

つまり、この場合で言えば、「少なくとも1人が女子であるとは…」どういうことなのかを、自分の言葉で翻訳せよということだ。

この変換ができれば、場合の数は怖くない。
思い込みの勘違い以外は…。

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posted by 丹澤三郎 at 19:57 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学
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