数学を分かりやすく考えてみようと試みるサイト

確率本編の更新がまだできそうにないのですが，とりあえず，つなぎとして更新しとこうと思い立ち，書いております．確率に関する閑話休題を先に書くべきかな・・・そっちの方が書いてみたいという思惑があったりなかったり．

前回　⇒　確率(9):区別なしの順列

十回目さー！ようやく！いや，もうサクサク行くっす．今日は期待値ですね．数学Aに期待値があったことを知ったのがつい最近というのは内緒です．

期待値で一番分かりやすいのはギャンブルです．今，ちょっとしたギャンブルを考えましょう．ギャンブル嫌いの人もちょっとお付き合いください（笑）

さて，サイコロを一回振って，もし６が出たら600円もらえるギャンブルがあるとします．ただし，もし６が出なかった場合は逆に150円払わなければなりません．さて，このギャンブル，やるべきかどうか？というのが問題です．さぁ，やるべきかやめるべきか．どちらだと思いますか？もちろん，ギャンブル嫌いだからやめるべき，というのは却下です（笑）

このギャンブルは，600円もらえるか，150円払うことになるかという二通りの結果しかありません．あなたがギャンブルをした時に，そのどちらになるかは結局神のみぞ知るです．だから神に聞いてください．以上！！！！・・・では数学になりませんね．ではどうやったら判断できるでしょうか？


この場合，自分が一人しかいないから難しくなってしまいます．運次第で，二通りの結果にしかならないですからね．ここでもし自分が１億人いるとしたら，全員がギャンブルやったときの結果を合わせて考えれば，このギャンブルが得なのか損なのかがはっきりしてきますね．


しかし，自分は一人しかいません．その場合どう考えるか！そう，自分を分解してしまえばいいのですっ！！！！！



自分をたくさんの自分へと分解して，それぞれにギャンブルをやらせてあげたときの，その結果を集計すれば良いのです！！さて，実際にやってみましょう．

たくさんの自分がいた時に，ギャンブルに勝つ自分と，ギャンブルに負ける自分がどのくらいいるのかをまず考えます．サイコロで６が出れば勝ちなわけですから，その確率は1/6です．逆に負ける確率，６以外が出る確率は5/6です．つまり一人の自分を分解してギャンブルをやらせたら，1/6人はギャンブルに勝ち，5/6人はギャンブルに負けることになります．（自分の人数が，発生する確率と同じである点に注意してくださいね）

さて，ギャンブルに勝てば600円もらえるわけですから，ギャンブルで勝った総額は
　600円×1/6人＝100円　です．
一方，ギャンブルに負けた場合150円払うわけですから，ギャンブルに負けた総額は
　150円×5/6人＝125円　です．

よって，全員（といっても自分一人分ですが）のギャンブル結果の総額は，


100円（6が出た場合） - 125円（6以外が出た場合) ＝ -25円





負けてるー！！！損してるーーー！！つまり，このギャンブルをやると，25円損するということです．もちろんこれはあくまで，多数の自分がギャンブルを行った時の平均的な値です．実際に１回ギャンブルをしたら，600円もらえるか，150円失うかのどちらかしかありません．ただ，このギャンブルが損しやすいということは分かるわけです．

この-25円という値のことを，期待値と言います．つまり，一回のギャンブルで平均的に得られる結果のことを指します．



さて，期待値の一般的な計算方法について説明しましょう．基本的には先ほど示したように，

その結果で得られる値　×　分解した自分の人数

を，全員分足し合わせることで，期待値は得られます．ここで，自分を一人だとすると，先ほどの話の中で示したように，分解した自分の人数は，その事象の発生確率と同じです．よって，上の式を事象を使って書き換えると，

その事象で得られる値（ギャンブルの結果の金額）　×　その事象の発生確率（そのギャンブル結果になってしまった人数）

これを，全事象足し合わせたものと同じです．

◆ 付け足しメモ ◆ ちなみにたいていのギャンブルは期待値がマイナス，つまり損する計算になっています．宝くじなどは300円払って得られる金額の期待値は150円程度です．つまり買うごとに半額失うわけですね．もちろん運がよければ３億円手に入ることもあるのですが，あなたが平均的な運の持ち主であれば，半額損をするということになるわけです．

さて，これにて数学Ａの確率における基本部分の説明は終了です．もっと細かい話は色々あるわけですが，抑えておくべき重要な点だけを説明しています．他のことは，この考え方の流用でたいていなんとかなります．細かい部分を説明すればするほど，数学って分かりにくくなるように思うんですよね．ほんとに重要な点だけ説明すれば，あとの細かいことも理解しやすくなるし，とっつきやすくなるのでは，と思って書いています．

さて，この後何回かは，実際の問題に対してどう考えていけばいいかを，未説明の部分を交えて説明していきたいと思います．（もちろん，もっと細かい部分などを知りたい場合は，ほかのサイトを調べてみるのも良いと思います．ここで示した話を抑えておけば，理解しやすくなっているのではと期待しています（笑））

んーでも，その前に閑話休題を挟もうかなーとも思っています．お話として書きたいな〜と思っていることがあるので・・・ま，そのへんはおいおい．

それではー．

数学ガール上を宣伝しておきながら，下をしていなかったので下に置いておきます．フィボナッチ数列とか，普段の生活で使わないよねーというようなお話でも，こういった形で見せられると興味を持っていけるのかな〜と．数学の面白さに触れるには良いと思います． 数学ガール 下 (MFコミックス フラッパーシリーズ) 新品価格 ￥620から (2010/11/3 20:35時点) 漫画でサクサクよめて，数学にも興味を持てるなら，それが一番ですよね〜．文字と数式だけの文章は読みにくいですよ，実際．数学好きな人は，数式ならいくらでも読めるっていうんですけど，正直理解できなかったり（笑）

次　確率(11)実際の問題に対して(前編)

前回　⇒　確率(8):組み合わせ


９回目ー！！明らかに当初の予定通り（全１０回）いかない感じ爆発だけどサクサクいこー．

さて，今日は区別のつかないものが含まれている場合の順列です．たとえば，１０円玉３枚と５円玉２枚を並べる方法ですね．これも，基本的な考え方は変わりません．さーいってみよー．

いま，１０円玉３枚と５円玉２枚があるとします．これの並べ方は何通りでしょうか？ただし，１０円玉や５円玉は，それぞれの区別がつかないとします．書かれている製造年月日とかで区別はできなくて，１０円玉はどれも同じと考えるということです．

ここで重要なのは，１０円玉３枚は区別がつかないことです．よって仮に，１０円玉３枚を１０円玉Ａ，１０円玉Ｂ，１０円玉Ｃとつけたとします．このとき，

１０円玉Ａ，１０円玉Ｂ，１０円玉Ｃという並びと，
１０円玉Ａ，１０円玉Ｃ，１０円玉Ｂという並びは

区別つかない，つまり同じ並び方であると考えるわけです．

さぁ，これをどう解くのか．ここでもあの考え方が生かされます！！




全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんだぁ！！！





ここで無視したい並びは何か！１０円玉がどう並んでいても，無視して同じ並びだと考えたいわけですから，１０円玉の並べ方で割ってしまえば良いわけです．これによって，上の図にあるような3! 通りある並び方は，１０円玉の位置が変わらないので，同一であると見なせるようになります．（図では，１０円玉が１番目，３番目，４番目にありますが，これが１番目，４番目，５番目など，ほかの場合でも状況は変わりません．よって単純に3! で割ってあげてよいわけです）

同様に二枚ある５円玉の並び方でも割ってあげましょう．








よって答えは，5! ÷ 3! ÷ 2!になります．

◆ 付け足しメモ ◆ この問題は，あくまで「順列」を求めていることに注意してください．「組み合わせ」の式と似ていますが，「組み合わせ」ではありません． よって，「組み合わせ」の問題と合わせた問題を作ることもできます．たとえば，「１０円玉３枚と５円玉２枚から，２枚選ぶ方法は何通り？」などです．しかし，この問題は簡単には解けません．なぜなら，２枚選びだしたときに，１０円玉と５円玉が含まれている枚数が一定ではないため，それぞれの場合に分けて（１０円玉２枚を選びした場合，１０円玉１枚＋５円玉１枚を選びだした場合，５円玉２枚を選びだした場合の三通り）考えなければならないからです．（最初の問題の場合，対象としている並びの中に必ず１０円玉は３枚，５円玉が２枚入っていると決まっているので，3! と 2! とで割って問題ないのです．つまり，どんな状況でも割る数が変わらないから，場合わけしなくて良いのです．含まれる数が場合によって違うと，同じ数で割れなくなってしまうので，場合わけする必要があるんですね）

さて，あとは期待値のお話と，順列・組み合わせで飛ばしていた，細かい話をしていく予定です．やはり１０回で収まりませんが，まいっか．それではー．

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次　確率(10):期待値

前回　⇒　確率(7)順列


８回目ですー．今日もサクサクいくよー．サクッと．


今回はついに，高校数学Ａの確率で最重要（と個人的に思っている）「組み合わせ」です！　これができれば，順列・組み合わせの両方をマスターできることになるわけですね．でも実は，もう組み合わせを簡単に理解できるようになっているはずなんですよ．いままでの話だけでね．なので，サクッと進めてみます！

組み合わせの典型的な問題文は，「５個のボールから２個選ぶ方法は，何通りあるか？」です．順列の時と似ていますが，「選びだしたボールを並べる方法」については聞いていない点が違います．そう，つまり「ボールは選びだすけど，並び方は気にしないで」ということです．あれ，どこかで聞いたフレーズですね．

そう，順列の時に，余ったボールに対してつけられていた条件と同じですね．さぁ，ここで今一度思い出しましょう．


全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんだぁ！！！



そう，ここでは「選んだボールの並べ方」を無視したいのだから，選び出したボールの個数の並べ方である2の階乗で割ればいいのです！！！さて，この考え方を適用すると図のようになります．





さぁ，この問題の答えは　

5! (ボール全体の並べ方）÷3! (余ったボールの並べ方) ÷2! (選んだボールの並べ方)

となります！！重要なことは，余ったボールの並べ方も気にしないことに加えて，選んだボールの並べ方も気にしないという点です．だから，3! と 2! の二つで割るんですね．


次に，順列の時と同じように数式で考えてみましょう．n個のボールの中から，r 個のボールを選びだす方法について考えます．この時の組み合わせ方法は，nCr と表現されます．





順列の時と違うのは，選びだしたボールの並びを無視するために，r ! で割っている点だけです．順列も組み合わせも，考え方は似ているんですね．

◆ 付け足しメモ ◆ ちなみに，nCn-r = nCr　となります．これはどちらも，５個( n )のボールを２個( r )と３個( n-r )に分ける点で同じだからです．分けた後で，最終的にどちらを使うかという違いしかないからですね．計算式も同じになっていることからも分かるかと思います．

さて，さらに組み合わせの応用問題を解いてみましょう．

問題「9個の石を，4個，3個，2個に分ける方法は何通りあるでしょうか？」

今回は選びだすというものでなく，グループ分けです．しかも三つのグループです．でも，基本的に組み合わせの考え方と変わりません．選びだすということは，選ぶものと選ばないものにグループ分けするのとほぼ同じです．そして，グループ数が三つであっても，無視したい部分の並べ方で割るという考え方は変わりません．

◆ 付け足しメモ ◆ ここで，「ほぼ」と言っているのは，実際は少し違う場合があるからです．その違いはのちほど触れていきます．

よって，9! ÷ 4! ÷ 3! ÷ 2! となります．実際，なんら難しいことはありませんね．





さーサクッと次の問題いってみましょうか！

問題「9個のボールを，3個, 2個, 2個, 2個に分ける方法は何通りか？」

これも簡単！ 9! ÷ 3! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! ですね，，，，，というのは間違いです！！！！！！さて，なぜでしょうか？

この問題となるのは，「2個のグループが複数ある」ことです．そう，組み合わせを考えた時，このグループの間で重複が生まれてしまうからなんですね．





前回の問題は，４個，３個，２個の組み合わせに分けていたので，重複は生まれませんでした．含まれている数量が違うので，４個のグループを３個のグループと入れ替えることはできないからです．しかし，今回は２個のグループが複数あり，それらを入れ替えることができるために，重複が生まれてきます．


では，これを対処するにはどうしたらいいのか？ここでもあの言葉を思い出してください！！！


全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんじゃぁ！！！



今無視したいのは，２個のグループの並べ方ですね．ここの並べ方を無視してあげれば，重複はなくなります！今，２個のグループは３つあるわけですから，その並び方は3! です！！よって，この問題の答えは，9! ÷ 3! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 3! となります．

◆ 重要ポイント ◆ 問題文が「9個のボールから7個選んで，3個, 2個, 2個に分ける方法は何通りあるでしょうか？」であった場合の答えは，9! ÷ 3! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! になります．9個のボールを3個, 2個, 2個, 2個にグループ分けするという点では変わらないのですが，三種類ある２個のグループのうちの一つは，選ばれないグループであり，選ばれる他二つのグループと入れ替えることができないため，並べ方に含めて考える必要はないわけです．選ばれないグループはある意味，捨てられているわけですから，選ばれているグループと交換できないわけですね．よって，含める必要のある，二つのグループに対しての並べ方である，2! で割ることになります． これが先ほど言った，「グループ分けする」のと，「選ぶ選ばないの二つに分ける」ことの違いです．「グループ分け」ではそれぞれのグループの違いはないですが，「選ぶ選ばない」では違いが現れます．よって，「４つのボールから二つ選ぶ」場合は，4! ÷ 2! ÷ 2! = 4C2になりますが，「４つのボールを二つずつに分ける」場合は，4! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2!になります．

今回までの組み合わせの問題では，それぞれ異なる数字の書かれたボールを扱いました．これは，それぞれの区別がつくということを意味します．それでは区別つかない場合はどうなるのでしょうか．たとえば，10円玉3枚と5円玉2枚の並べ方は？という問題などです．実はこの問題も，あの考え方を使って解くことができます．

その話はまた次回！！！

最近は大人が数学を勉強し直すことがブームになっているようです．．あのころできなかったことに，再チャレンジしたいという人が多いみたいですね．そんなブームに一役買っているのがこの「数学ガール」です． 数学ガール 上 (MFコミックス フラッパーシリーズ) 新品価格 ￥620から (2010/11/3 20:40時点) 前回の順列の際にも紹介しましたけど，こちらは漫画版です．数学を題材として数学に慣れ親しめるようにする上では，漫画は良い方法ではないかなーと．もちろん，きちっと理解をしたいのであれば，原作である小説版を読んだ方がいいと思うのですが，入口としてはできるだけ簡単な方がいいのは事実ですよね．数学に慣れ親しむってのは，このサイトのコンセプトでもありますしね．

次　確率(8)区別なしの順列

前回　⇒　確率(6)階乗！

七回目ー！！！ラッキーセブン！今回は，高校数学Aの確率で重要な「順列・組み合わせ」から，順列を勉強しますよー．

さて，とりあえずは，前回の疑問についてのお話です．忘れている方は前回のお話をもう一度ご覧下さいな．



それでは前回の疑問点を簡単にまとめましょう．


１〜５までの数字が書かれた五個のボールから，二つ選んで並べる方法は何通りあるのか？という問題を考えると，その答えが，


5! (ボール全部) ÷ 3! (並べるのに使わなかった，余ったボール) = 5 × 4


と書けますよ！ということでした．さて，どうしてそう言えるのでしょうか？？？


まず，この問題は，５個のボールを色々並べた時に，前二個の並べ方が何通りあるかを調べることと同じなのがおわかりでしょうか？５個のボールの中から二つ選んでいるわけですから，残りの三つは放置されています．これも一応並べてあげれば，５個のボールの並び方を考えるのと同じになりますよね．



ただし，５個のボールの並び方を考える場合と違う点は，残された三つのボールの並べ方は無視する必要がある点です．だって，もともとは放置されていたわけですから，並び方を気にする必要はないですよね．


つまり，５個のボールの並び方の数である5! に対して，後ろ三個のボールの並びを無視してあげることができれば，答えが得られる！！！ということになります．



もし，後ろ三個のボールの並び方を無視しないと，前二個のボールの並び方が同じものがたくさん出てきてしまいます．５個のボールの並べ方である5! は，全てのボールの並べ方を気にしているので，図のように，前二つが同じ並び方のものが複数個出てくるのですが，それはいったい何個でしょうか？




そう，図からわかるように，ボール三個の並べ方の数だけ出てきてしまいます．よって，3! 個です！


さて，5! の中には，前二個の並べ方が同じになっているものが3! ずつあります．ですので，5! を3! で割ってあげれば，重複が取り除かれ（後ろ三個のボールの並びが無視されて），それぞれ一個ずつ残ることになります．よって，5! ÷ 3! が答えになるんですね！！！！





さぁ，まとめましょう！！．ちょっとここでは数学らしく，数式でまとめてみましょう．数式といっても簡単なものですので，軽く構えていてください．



今，n個のボールがあった時に，そこからr個選んで並べる方法は何通りあるか？という問題を考えます．nとr はどんな整数でもいいですが，n個の中からr 個選ぶので，当然r はnより小さくないといけません．また，n個のボールからr 個のボールを選んで並べるわけですから，この時余ってしまったボールの数はn-r です．この時，問題の答えは，


n! (ボール全部の並べ方) ÷ (n-r )! (並び方を考える上で余ったボールの並べ方)


となります．公式という形になると覚えづらく感じる人も多いでしょう．実際，公式を単純に覚えるよりは，意味で覚えてしまったほうがいいと思います．ここで重要な点は，


全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんだぁ！！！



ということです．この考え方を覚えるようにしてください．この考え方は後の話でも使いますよ〜．

◆ 付け足しメモ ◆ さて，突然ですが，５個のボールから５個選んで並べる方法は何通りでしょうか？ ５! ですよね〜．このことを，今回の式に当てはめてみると， 5! (ボール全部の並べ方) ÷ 0! (並び方を考える上で余ったボールの並べ方) となります．この式が5! と等しいと考えると，0! = 1であるということになります．感覚的には0! は0でしょ？という人もいると思うのですが，ぶっちゃけこっちの方が扱いやすいので，数学では0! = 1となっています．そう決めてしまったわけですね．

さて，最後に一つ．今回の問題（全体から一部を抜き出して並べる時の並べ方の数）は，実は階乗と同じように，名前が付いています．それが「順列」です．

順列はnPr という形で表現されます．よって





まー実際のところ，nPr はあんまり使いません（ぉい）．それよりも次に話す，「組み合わせ」の方が重要です．この「組み合わせ」も，今回お話した考え方をちょっと応用するだけで簡単にできます．

そのお話は次回！！！！

数学というのはどうしても無味乾燥なものに思われがちな面があります．実際には面白さがあるのに，そこに触れる前に毛嫌いされてしまうところがあるように思います．そこは結局何が問題なのかって，学校では数式や理論を教えるだけになってしまい，それが何なのか，どういう意味があるのか，という点はほとんど触れてくれないことではないかと思っています．ただただ，数式を覚えさせられるでは，だれだってつまらなく感じてしまいますよね． 数学ガール 新品価格 ￥1,890から (2010/11/3 20:44時点) もう紹介する必要もないくらいに有名に？なっている，数学ガールでは，そういった視点を大事にしていたことが評価されているのだろうと思います．小説を読むような感覚で，一度数学に触れてみてはいかがでしょうか？

次　⇒　確率(8)組み合わせ