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前回　⇒　確率(番外3)モンティ・ホール問題2

前回は，「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知っている」場合の話でした．さて，今回は，「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知らない」場合を考えてみたいと思います．

前回の図をもう一度見てみましょう．



前回は，解答者がはずれであるBやCの扉を選んだあとは，一本道の未来しかありませんでした．司会者(モンティ）がはずれを必ず選ぶという事を解答者が知っているからです．

しかし今度は，司会者は誤って正解を開けてしまう可能性があります（そう，解答者は思っています）．よって，一本道の未来ではなくなります．もちろん，実際には司会者は正解を開けることはありませんでした．でも，その未来はあったかもしれないわけです．この違いが，大きな違いとなります．

この状態を図に表すと，下のようになります．



司会者が正解を間違って開けてしまう未来．それは解答者がBの扉を選んだ時，Cの扉を選んだ時のそれぞれで1/6の確率で起こりえた未来でした．起こらなかったというのは結果論であり，可能性としてはあったのです．主観確率では，これを考慮する必要があります．

さて，このときの確率の状態をまとめると下のようになります．

・ 正解を選ぶ確率　= 1/6 + 1/6 = 1/3
・ 不正解を選ぶ確率 = 1/6 + 1/6 = 1/3
・ 実現しなかった未来 = 1/6 + 1/6 = 1/3

ここで，確率は全ての可能性を足したら1になることを思い出してください．実現しなかった未来は可能性がなくなりましたので，確率から外す必要があります．その場合，全ての可能性は

　正解を選ぶ確率（1/3) + 不正解を選ぶ確率(1/3) = 2/3

となってしまい，1になりません．この場合は，確率の比率を壊さないように，かつ合計したら1になるように修正します．つまり，正解を選ぶ確率(1/3)＝不正解を選ぶ確率(1/3)という関係を壊さないように，合計を1にすればいいわけです．よって，正解を選ぶ確率は1/2，不正解を選ぶ確率も1/2となります．

まとめましょう．

ケース１：「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知っている」
最初に選んだ扉が正解である確率：1/3
もう一方の扉が正解である確率：2/3

ケース２：「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知らない」
最初に選んだ扉が正解である確率：1/2
もう一方の扉が正解である確率：1/2

解答者の知識が確率を変えてしまう．これが主観確率というものの性質なのですね．

◆ 付け足しメモ ◆ ちなみに，「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知らない」場合において，司会者が不正解のドアを開けると決めていたかどうかは関係ありません．この主観確率は解答者のものであるため，解答者が何を知っているかが重要なのです．司会者がどう思っているかは無関係です．

昨今では色々なベイズ確率の問題があったりします．そのあたりの問題を解くときに，この考え方を思い出してみて頂ければ幸いです．結構，Web上の情報を調べてみても，解釈が割れていたり，答えを誤っている例を見かけます．最近見た中では，「眠り姫問題」などが面白い例かなと思います．気になる方は是非，調べてみてください．ここで知った内容を当てはめて考えてみると，意外な答えが出てくるかなと思います．機会があれば，ここで触れてみたいとも思いますが．確率番外はとりあえず，ここで一旦終了としたいと思います．ありがとうございました〜

ホームページ更新を長く放置し続けた結果，もう春も近くなってしまいました．受験生の方はもうすぐ，長いトンネルの終わりが来るわけですね...是非，あともう少しなので，頑張ってください！終われば，旅行でもなんでも行き放題ですっ！ で，そんな時のお伴として，楽天トラベルのリンク置いておきますね！（ぉい）．

最初　⇒　確率(1)問題設定

前回　⇒　確率(番外2):モンティ・ホール問題1

さて，今回はモンティ・ホール問題の解答を計算する方法です，前回，主観確率と客観確率の違いを説明いたしました．それをちょっとまとめてみましょう．

客観確率：誰の目から見ても明らかな，客観性を持った確率
　　　　　　　問題を定めたら，ただ一つだけ決まる

主観確率：考えや信念により定まる，主観性を持った確率
　　　　　　　人それぞれで異なっている．

ここで，モンティ・ホール問題は，「解答者の主観確率」を計算するものとなります．ではなぜ，客観確率の計算の問題とならないのでしょうか？それは，客観確率はこの場合存在しないからなんです．客観確率は既に答えが決まってしまっている問題に対して，計算することはできません．答えが決まってるのだから，正解の扉が確率的に変化することはないからです．これをちょっと図で説明してみましょう．

下の図は，モンティ・ホール問題が作られるまでの過程を示しています．過程は�@ドアと車，ヤギを用意する→�Aモンティがドアセッティング→�B解答者選ぶ→�Cモンティが外れのドアを開く　という四つに分けて考えています．




今，問題が出されている時点というのは�Cの時点の話です．しかし，正解のドアはすでに，�Aの時点で決まってしまいます．そうすると，どのドアが正解であるかという客観確率は，�Cの時には考えることができなくなります．「これから，あるドアに正解が入る客観確率」（�Aより前の時点での客観確率）は定められるのですが，「すでにドアに正解が入っている客観確率」（�A以降の時点での客観確率）は定められないんです．確率の問題じゃなくなっちゃうからですね．

サイコロの例でいえば，「サイコロを振った時に，１が出る客観確率」は1/6ですが，「サイコロを振った後で，それが１であった客観確率」は計算できないのです．でもこの両者は非常に似通っていますから，後者の答えも1/6と考えていいように思いますよね．それを主観確率と呼んでいるわけです．

さて，では主観確率は数学的にどのように計算されるのでしょうか？主観確率も，実は客観確率の考え方に沿って計算します．客観確率の考え方は覚えているでしょうか？そう，無限回の試行をしたときに，その事象が現れる割合で計算されますね．

しかし，それを単純には実行できません．問題となっている�Cの時点では，既に正解が決まっているわけですから，何万回試してみたって，正解は常に同じドアになります．割合なんか出てきません．そこで，問題が始まる前，つまりドアや車を用意するという時点からさかのぼって，�@から�Cまでの過程を試行します．�@の時点では正解のドアは決まってないわけですから，�Cまでたどり着いたとき，正解のドアは常に一定ではなくなるわけです．これによって「確率」が計算できるようになるわけです．


さぁ，実際にモンティ・ホール問題を計算してみましょう！これを図で示してみます．




�Aの時点までは確率的な分岐がない一本道になります．（正確には，モンティがどのドアに正解を入れるか，という分岐があるのですが，正解を入れたドアをＡ，不正解のドア二つをＢ，Ｃと名づけることで，問題の説明を簡単にしています）

�Bの時点で，分岐が現れます．解答者がA，B，Cの三つのドアのうち，どのドアを選択するかですね．これはそれぞれ，1/3の確率で選択されます．

�Cの時点では，司会者(モンティ)は必ず不正解のドアを開けます．このとき，不正解のドアが一つしかないなら（つまりは，解答者が不正解のドアを選択していた場合）分岐はありません．しかし，二つある場合（つまりは，解答者が正解のドアを選択していた場合）は，不正解のドアＢ，Ｃの中から，それぞれを1/2の確率で選択することになります．

さて，これで問題が出されている状況までたどり着きました．この時，選んだドアに正解が入っている確率はいくつでしょうか？そう，1/6 + 1/6 = 1/3ですね．そして，もう一つのドアが正解である確率は1/3 + 1/3 = 2/3になっています．よって，選んだドアが正解である確率の方が低いので，ドアは変更した方が良いわけです．

ただし注意してほしいのは，この解答が正しくなるのは「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知っている」場合に限られます．もし，解答者がそれを知らない場合，確率が変わってしまいます．これは客観確率ではありえないことです．そう，主観確率は，その主観確率を持っている人が「何を聞き，何を知っているか」によって変わってしまうのです．

では次回，「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知らない」場合を考えてみたいと思います．

それではー

確率は最近色々な分野で使用されています．面白いところでは，ゲームなんかにも使われているんですね．最近ゲームは，将棋がプロに近付きつつあり，女子プロを破ったことでも有名になっています．また，囲碁においては，確率論を使ったモンテカルロと呼ばれる方法が，主要な方法となっています． Amazon ゲーム計算メカニズム (コンピュータ数学シリーズ 7) 新品価格 ￥2,940から (2011/2/7 07:47時点) 楽天 モンテカルロをゲームで使う方法は最近の手法なので，あまり解説してくれている本は少ないのですが，これはその中でも詳しく説明してくれている一冊です．実際にゲームを作ることもできる観点で，色々なゲームアルゴリズムを説明してくれています．興味ある方はぜひ，一冊ご購入してみてはいかがですか？

最初　⇒　確率(1)問題設定

前回　⇒　確率(番外1):大数の法則

今日は最近有名な確率の問題として知られている，モンティ・ホール問題についてです．この問題についての議論をすると，正解は知られているのにそれでも納得のいかない人が現れたりする問題であり，正確な理解にたどり着くのが難しい問題として知られています．

今回はそれを分かりやすく説明していきたいと思いますが，なにぶん難しい問題ではあるんで，誤解を恐れずに自分なりの解釈で説明していきたいと思います．（なので，微妙に間違ってるかも（笑））


さて，それではモンティ・ホール問題とは何か？から行ってみましょう．下に，Wikipediaで示されている問題文を抜粋しています．

「プレイヤー(解答者)の前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティ(司会者)が残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更しても良いと言われる。プレイヤーはドアを変更すべきだろうか？

問題のルール：
(1) 3つのドア (A, B, C) に（景品、ヤギ、ヤギ）がランダムに入っている。
(2) プレイヤーはドアを1つ選ぶ。
(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける。
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。
(5) モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと必ず言う。 」



さぁ，答えはおわかりでしょうか？


ま，いきなり答えを言ってしまいますと，ドアを変更した方が良い，となります．最初に選択したドアに新車がある確率は1/3であり，変更した先のドアにある確率は2/3なんです．

この解答に対し，多くの人が疑問を唱えたのです．どっちも同じ1/2じゃないのか？と言ったわけですね．

あなたはどちらが正しいと思ったでしょうか？


さて，問題をシンプルに考えてみましょう．最初に一つ選んだときに，正解である確率は1/3です．これはいいですね．

その後で，モンティが不正解のドアを一つ開けます．この行動によって，確率が変わっているわけです．つまり，開けることによって消えた1/3の確率分がどこへ行くのか，という話になります．

これが全て，選択していないドアに割り振られたら2/3になります(図の(1))，
残り二つのドアに平等に割り振られれば，1/2になるわけです(図の(2))．




この割り振りが，どういう計算によって導かれるのかについては，次回以降においておきます．ここではその前に，なぜ，二通りの意見が生まれてきてしまうのかを考えたいと思います．その原因はなんなのでしょうか？

じつは，その原因は非常に根本的な部分にあります．

それは，「そもそも，この問題の答えって確率で計算できるの？」という点です．

だって考えてみてください．この問題，司会者であるモンティは正解を知っています．でなければ，不正解のドアを開けることができません．解答者が「このドアが正解である確率は2/3だ!」って言っているよこで，モンティは「いや，そっちは不正解だから．見当違いだねー」と思っているわけです．つまり，司会者からしてみれば，確率の問題ではなく，厳然たる事実なわけです．

これまで説明してきたサイコロの問題では，確率が1/6というのは誰にとっても同じでした．「このサイコロは次に振ったとき，１が出るのさ！」と分かっている人はいないわけです．

なにやら，おかしな感じがしてきていませんか？実はこの不整合さが，問題をややこしくしているんです．

そう，この不整合さはどうして生じているのか，その答えをお教えしましょう．





実は，確率は二種類存在するんです！！！！！





そう．モンティ・ホール問題で問われている「確率」と，今まで学習してきた，サイコロの出る目の確率などの指す「確率」は，似て非なるものなんです．


サイコロの出る目の「確率」などは，誰の目から見ても同じである事実を指しています．このような客観性を持っている確率のことを「客観確率」と言います．

しかし，モンティ・ホール問題の指す確率はそうではありません．司会者と解答者とでは見ている確率が異なっています．これは，基準とする人間によって確率が異なっているということになります．このような主観性を持った確率を「主観確率」といいます．

つまり，このモンティ・ホール問題で考えている「確率」は，あなたが今まで学んできた確率の考え方は通用しないんですね！！！この認識間違いが全ての問題を引き起こしているのです．

かといって，主観確率と客観確率が全く違うもの，というわけではないのが厄介なところです．主観確率は，客観確率と等しくなる場合が多いからです．たとえば，サイコロを振って１が出る確率は，客観確率でも主観確率でも1/6と言えるわけです．言いかえると，これまで勉強してきたところでは主観確率と客観確率が一緒だったので，違いを気にしなくて良かったともいえます．しかし，モンティ・ホール問題では，この二つが異なっています．これが二通りの意見を生み出してしまっているわけですね．

◆ 付け足しメモ ◆ 主観確率は，人間それぞれに設定されるものであり，その人間の考え方や信念に依存します．つまり，「誰がなんと言おうと，俺はこの確率は1/4だと思う！」と言えば，その人にとっての主観確率は1/4となります．まーそれでは数学にならないため，数学においては人の考え方や信念は排除し，事実だけから計算できるようにルール設定します． モンティ・ホール問題のルール説明時に，やたらと「必ず〜する」のような表記があるのはそのためです．つまり，「必ず〜するとは限らない」と解答者が思ってしまうようでは，考え方や信念がからんでしまい，数学的に計算できなくなるのです．

でも，モンティ・ホール問題は，主観確率で考えてください！なんて書いてないじゃん，というあなた．その通りです．これが問題を厄介にしているポイントでもあります．その辺も後々触れていきたいと思います．今回は，確率が二種類あるってことだけ覚えておいてください．

さぁ，次回以降は実際に，主観確率によってモンティホール問題が解かれていく過程を示したいと思います．

それでは〜

このモンティ・ホール問題などで使われている主観確率は，ベイズ確率などとも呼ばれています．このあたりは，ベイズ統計学と呼ばれる分野であり，この理論は現在のIT技術を支えています．たとえばGoogleなどの検索エンジンなどは，この技術なくして生まれていません．しかし，このあたりの理論は様々な前提知識が必要となってきます． Amazon 図解入門よくわかる最新ベイズ統計の基本と仕組み 楽天 図解入門 よくわかる最新ベイズ統計の基本と仕組み (How‐nual Visual Guide Book) この本では，このあたりの必要な知識を基本から分かりやすく説明してくれている本であり，古典統計学とも呼ばれる，客観確率を基礎とした統計学との違いなども明確に示してくれています．もちろん，このサイトでもある程度説明していく予定ですが，これからさらに重要度を増していく分野であると思いますので一冊ご購入してみてはいかがですか？

次　⇒　確率(番外2)モンティ・ホール問題2

前回　⇒　確率(12):実際の問題に対して(後編)

さて，今回のお話は「サイコロを沢山ふっているけど，最近１が出ていない！次は１がでやすいはず！」という考え方は正しいか？！という問題です．誰もが一度は疑問に思ったところではないかなと思うのですがどうでしょう．さて，本当に１が出ていないのなら，次は１が出やすくなるでしょうか？

これを考えるときに重要となるのは，それぞれの試行が独立であるかどうかです．本編の例の中であった，前日の気温とその次の日の気温などのように，独立性のないものの場合は，前日の気温（つまりは，それまでの結果）が次の日の気温（その次の結果）に影響します．

しかし，サイコロを振るという試行は独立となっています．これは，今までの試行結果（サイコロの出た目の状況）は，次の試行（次以降に出る目の種類）に一切影響を与えないということです．サイコロの目の出方は，前の結果に影響するはずないですよね．これは直感的にも理解できるかと思います．


よって，１が出やすくなるということはないのですが，それでも勘違いする人は少なくありません．これはなぜなのでしょうか？！


この勘違いを生み出しているのは，おそらく「１が出る確率は1/6」であるという事実ではないでしょうか？つまり，「たくさん実行した際に１が出る比率が1/6になるはずなのだから，1があんまり出てないなら，次からは1が出やすくなるはず！」というものです．

この思い込みは当然ながら間違っています．ではどこが間違っているのでしょうか？

それは，「１が出る比率を1/6にするためには，1をより多く出さなければいけない」という考え方です．そう，実際はそんなことはないのです．


それを例で示してみましょう．今，サイコロを15回振ったとき，各目の出た回数が，下のグラフに示すような内訳になったとします．



これによりますと，1が一度も出てきていません．出現する比率が0になっています．

さてそれでは，この後続けてサイコロを振ったときに，「１が出る比率を1/6にするためには，1をより多く出さなければいけない」という考え方をしなかった場合を考えて見ましょう．つまり，1を多く出そうとしないで考えてみます．

では何回ぐらい試行してみましょうか．そうですねー，どかんと３万回くらいやってみましょう！！！

理想的にサイコロが出たとすれば，それぞれの目が出る回数は3万回 ÷ ６ ＝ 5000回になります．そうすると下のような状況になります．





このとき，１が出た割合は5000 ÷ 30015 ≒ 0.1666 であり，1/6 = 1.666666・・・・なので，ほぼ1/6になっていることがわかります．


もうお分かりですね．小さな差が生まれたとしても，それよりはるかに多い量の試行を行えば，1/6になってしまうわけです．つまり，出現の比率を1/6に近づけられる理由は，それまでの試行結果から調整しているからではなく，もっと大量のデータで上書きしてしまうからなんですね．

なんかだまされたような気もするでしょうが，確率はあくまで大量のデータから導き出されるものです．小さなデータでは，あまり意味があるわけではないのです．

◆ 付け足しメモ ◆ ちなみに，大量の試行を行うとき，出現の比率（実際の試行のなかで１が出ている割合）が，発生する確率（１が出る確率）に近づくという性質のことを，大数の法則といいます．大数というほどに試行回数が大きいときに成立する性質ということですね． 大数の法則では，無限回試行した場合には出現比率と発生確率が一致する（正確に言えば，一致する確率が限りなく１に近づく）ということを示しています．ただし，無限回試行するということはできないことに注意してください． どんなに多く試行しようとも，そこから一回でも試行すれば，さらに多い回数となってしまいます．よって，永遠に無限回試行へはたどり着けません．大数の法則では，無限回へと近づいていく状況を見てみると，どうみても出現比率と発生確率が一致する状況へ向かっているとしか思えないよ！といっているのであって，実際に無限回試行したときにどうなっているかは，誰にもわかりません．

さてさて，次回の予定なんですが，モンティ・ホール問題を扱いたいと思います．これは，あるテレビ番組で出題された問題であり，多くの人が答えを誤ったという近年有名な問題です．しかし，この問題を正確に理解することは難しく，さまざまなページで議論されていますが，万人を納得させるにはあまりいたっていないお話です．

モンティ・ホール問題のせいで，確率が良くわからなくなったという人も少なくないでしょう．実際，モンティ・ホール問題について，本来説明しなければならない点を説明していないことが多く，その状態で理解するのは困難ではないのかと感じていました．そんな問題をここで解決できるのかという疑念はありますが，間違いを恐れずにがんばって書いてみようかなと思っております（笑）

それでは〜

数学の面白さを理解するっていうのは，なかなか難しい問題だなと，サイトを更新してきてつくづく思ったりしてます．どこで人の理解が止まってしまうのかを考えないと，説明できないんですよね．でも，その先にある面白さにたどり着ければ，数学に対する見方って劇的に変わっていくと思っています． この本では，数学の基本をシンプルに分かりやすく示してくれて，数学の面白さに触れられる一冊です．少しでも数学に興味をもたれたら，一読してみてはいかがでしょうか？結構安いですし（笑）

次　確率(番外2)モンティ・ホール問題1

前回　⇒　確率(11):実際の問題に対して(前編)

前回に引き続いて，確率の問題に対する心構えのようなお話をしていきたいと思います．前回をご覧になってない方は上のリンクからどうぞ〜．


さて，いかに問題を切り分けて楽に計算するか，ということをお気づきいただけたでしょうか？ここで一つ，簡単に計算できるテクニックについてお話しましょう．ずばり余事象の考え方です！

余事象というのは，注目したある事象以外の事象のことを指します（余っちゃった事象ということですね）．たとえば，「１が出る」事象の余事象は「１がでない」事象となります．

「１が出ない」事象は具体的にいえば「２，３，４，５，６のいずれかが出る」事象となるのですが，ご覧の通り事象の数が多いです．しかし，これを簡単に計算する方法があるのです．それは，「全体から元の事象を引く」というものです．ちょっと実例を見てみましょう．


「１〜９までの数字が書かれた９個のボールから５個選んで並べる際に，偶数が書かれたボールが２つ入っていない並べ方は何通りか？」


これは先ほど，最初の問題と似ていますが，最後に否定が付いています．つまり，最初の問題で求めようとした事象の余事象についての問題です．考えただけでも大変そうなこの問題が，余事象を使えばとても簡単に解けます．

まずは全体を求めましょう．つまり９個のボールから５個選んで並べる方法です．これは簡単ですね．そう9P5=15120通りですね．

そして，「１〜９までの数字が書かれた９個のボールから５個選んで並べる際に，偶数が書かれたボールが２つ入っていている並べ方」は先ほど求めたように，7200通りです．よって，この問題の答えは，15120 - 7200 = 7920通りとなります．



とても簡単ですね．この余事象の考え方は順列はもちろん，確率でも使えます．確率の場合は１から引けば良いのです．余事象を上手く使いこなせると楽ができますよ！特に，「〜じゃない場合」とか，「〜以外である場合」とかの言葉が出てきたら余事象を疑うとよいですね．


さて，最後に，この分野の大目標である，確率へとつなげましょう．これが最後の問題です．


「１〜９までの数字が書かれた９個のボールから５個選んで並べる際に，偶数が書かれたボールが２つ入ってる確率はいくらか？」



これは最初の問題の解，7200を並べ方の総数である15120で割ればよいですよね．よって，7200 / 15120 = 10 / 21です．あら，あっさり(笑)．






確率は順列や組み合わせを全体の順列・組み合わせで割ることで得られます．よって，確率は順列や組み合わせと計算方法が似通っています．ただし，確率で注意しなければいけないのは，数え上げによる確率計算の規則を満たしているかどうかです．特に，「同様に確からしい」かどうかは注意が必要です．これは騙されやすいので注意してください．


よく騙される例を一つ挙げてみます．ある人が図のＡ地点からＢ地点へ向かうとします．このとき，その人は上か右にしか行けません．また，上にも右にもいけるときには，ランダムにどちらか一方に進むとします．そのとき，経路はa, b, c の三通り存在します．さて，それでは経路aを通って行く確率はいくらでしょうか？






数え上げで考えようとすると，経路は３本あるから，1/3だろうと考えたくなります．しかしこの解答は間違いです．この３本の経路は「同様に確からしい」と言えないからです．なぜでしょうか？


重要なのは，道の選択をする必要がある分岐点の数となります．それぞれの経路の「上・右」への分岐点を数えてみると，下のようになります．





これをみると，経路aは分岐点が1個なのに対し，経路b,c は２個あります．そう，「同様に確からしい」という条件が満たされていないわけですね．実際の経路aの確率は，分岐一回分なので1/2となります．ちなみに経路b,c は分岐二回なので，1/2×1/2=1/4となります．順列・組み合わせでは，「同様に確からしい」かを考える必要はありませんが，そこから確率を計算する場合には十分に注意してくださいね．


さて，以上で本編は終了です．以降は補足や読み物系の話をしようかと考えています．実際には円順列や数珠順列，重複あり順列など，細かい話があったり，確率の加法定理とか難しそうな用語とかあったりするのですが，そこは話をややこしくするだけなので，本編では触れませんでした．ポイントだけすっきりおさえるに専念したかったからです．なので，これ以降で少しずつ補足しようかと思っています．まぁ，あんまり補足すると他と変わらないので，そんなにやる気はないのですが（笑）


次からの回は簡単に，読み物系にしようと思っています．予定として，「サイコロを沢山ふっているけど，最近１が出ていない！次は１がでやすいはず！」という考え方は正しいか？！という話についてです．正解をいっちゃうと間違いなんですが，なぜ間違いなのかについてわかりやすく説明してみたいと思います．


それでは〜

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次　⇒　確率(番外1):大数の法則　

前回　⇒　確率(10)期待値

今回と次回で確率の本編は終了です〜．この回では実際の問題を解く上での話をしたいと思います．

実際に解く力を身につけるためには，数学Aの確率の問題をひたすら解く必要があります．問題のパターンってのは色々存在しているので，ひたすら解くことで，色々なパターンに慣れていかなければならないわけですね．

このサイトでもそれをやってみるかどうか迷ったのですが，別にここでやらなくても，問題に対する解答を分かりやすく説明しているサイトは沢山あります．

ただ，そういったサイトは，本当に大事なポイントだけを理解するのには不向きではないかと感じています．情報が多すぎるために，逆に分かりにくくなってしまっていないか，と思うわけですね．

なのでこのサイトでは，ポイントを絞ることで，数学を理解するきっかけになるようにしようと思いました．数学は複雑なようにみえて，実はシンプルな考え方の組み合わせでできていることが多いです．見かけの複雑さにとらわれて，くじけてしまう人も多いかと思います．その人たちの手助けとなるような，簡潔にポイントをおさえた話をしていくことにしました．


ここでは，確率などの問題を解く上での重要なポイントを説明していこうと思います．あくまで重要ポイントに限っています．この考え方をおさえておけば，問題を解くことはすぐにできなくても，解答の解説はすんなり理解できるようになるのではないかな〜，そうなったらいいな〜と思っておりますです．あれですよ，100点はとれなくとも平均点は取れるようになる位の感じです（笑）




さて，それではいってみましょうか．



順列・組み合わせで一番重要なことは，いかに問題を切り分けて考えるかです．全ての並びを計算する方法は説明してきましたが，実際の問題では部分部分になんらかの制約がある場合がほとんどです．その場合は，「制約がある部分とない部分に分けて計算し，最後に掛け合わせる」という方法を取ります．うまく切り分けられれば，分解した部分部分の並べ方を掛け合わせることで計算できます．（掛け算で組み合わせられるというのは，確率の考え方と同じです．異なる二つを組み合わせたいなら掛け合わせろ！ですね）



では実際に問題を解きながら考えてみましょう．

「１〜９までの数字が書かれた９個のボールから５個選んで並べる際に，偶数が書かれたボールが２つ入っている並べ方は何通りか？」


一見すると順列の問題ですが，「偶数が書かれたボールが２つある」という制約が入っています．この場合は，「制約のある」偶数ボールと「制約のない」奇数ボールとで分けて考えるのです．

まず，偶数ボールは２，４，６，８と４個あるうちから２つ使うことになります．
よってその選び方は4C2=6通りですね．

一方，奇数ボールは１，３，５，７，９と５個あるうちから３つ使います．
よって，5C3=10通りですね．


ここで偶数ボールの選び方一つずつに対し，奇数ボールの選びかた(10通り)があるわけですから，偶数ボールを２つ含むボールの選び方は6×10=60通りとなります．


さらに，この段階では組み合わせを使って５個のボールを「選びだした」だけですので，これを並べる方法を考える必要があります．全体で５個あるボールを並べる方法は，5! ですよね！　


よって正解は，60 × 5! = 7200通となります．意外と多いですよね〜．




ここでは「偶数」と「奇数」とで切り分けましたが，切り分ける方法はほかにも沢山あります．たとえば，偶数ボールの組み合わせを実際に「２，４」「２，６」「２，８」「４，６」「４，８」「６，８」と列挙して，それぞれの場合について計算することもできます．ただし，当然ながら計算が大変です．数学では，こうやって時間をかければたいていの問題は解けるのですが，時間がかかりすぎてはテストで良い点取れないわけですね．よって，いかに簡単に，楽をして計算できるか！が大切なんです（笑）

最初に述べた「いかに問題を切り分けて考えるか」というのは，「いかに時間がかからないように切り分けるか」という意味なんですね．そのためには特に，「制約のある部分だけ切りだす」ことが重要となります．



さて，もう一つ問題を考えてみましょう．

「１〜９までの数字が書かれた９個のボールから５個選んで並べる際に，偶数が書かれたボールが２つ入っていて，しかも隣り合っている並べ方は何通りか？」


先ほどの問題に対し，さらに「隣り合っている」という条件が付きました．この制約をどこで切り分けるか！というのが問題となるわけですね．先ほどの問題では，「条件を満たすボールを選び出す」ところと，「選んだボールを並べる」という二つにも問題を切り分けています．ボールが隣り合うという条件は，後者にかかわる話なので，前者には関係ありません．よって，「条件を満たすボールを選び出す」方法は60通りのままで使えます．


一方で，ボールの並べ方ですが，ここでも偶数ボールだけに制約があります．なので，偶数ボールだけ特別視して考えます．

まず偶数ボールの並べ方は，2!通りありますね．

そして奇数ボールの並べ方を3! ・・・と考えられると良いのですが，そう簡単にはいきません．2! と 3! とを計算できても，その組み合わせ方法は，単純な掛け算では出てこないからです．先ほどのように組み合わせで考えているなら，別々にできますが，順列はお互いを混ぜて考える必要があるからですね．



ではどうするのか．ここで偶数のボールは隣り合っているという条件に着目します．隣り合っているのならば，一つのボールと考えてしまってもよさそうですよね．そこで，偶数ボールをまとめた新しいボールＸを考えて，そのボールＸと奇数ボール３個のボールの並べ方を考えます．すると，並べ方はボール４個の並べ方なので，4! となります．もちろん，ボールＸの中にある偶数ボールの並べ方も考える必要があるので，全体の並べ方は4! × 2! ＝48通りとなります．

よって，問題の答えは，60 × 48 = 2880通りとなります．



隣り合うボールを一つにまとめて順列を考えるというのは，テクニックの一つです．この辺りは問題を解いて慣れていくしかないのですが，それより重要なのは，きっちりと問題を切り分けて考えることです！

◆ 付け足しメモ ◆ ちなみに，組み合わせを考える場合には，一つにまとめるというテクニックは使えません．まとめると，ボールが2つ分になってしまうため，組み合わせによってボールを８個選びだそうとしても，実は９個になっていたりするからです．

続きは後編で！文字数制限に引っ掛かったので（笑）

確率関係でお勧め本紹介ってことで．この本が良いなと思う点として，標準偏差の説明に力入れている点ですね．あれは結構使える概念なのに，学校での説明では何が良いのかさっぱりだったりするんですよね．ここでも説明してみたいとは思うのですが，まぁおいおい（笑） あと，近年有名になっているベイズ理論についても書かれています．モンティ・ホール問題などで話題になった理論ですね．こちらのほうは近日このブログでも触れたいと思っています． 使える!確率的思考 (ちくま新書) 新品価格 ￥756から (2010/11/3 20:34時点)

次　確率(12):実際の問題に対して(後編)

前回　⇒　確率(9):区別なしの順列

十回目さー！ようやく！いや，もうサクサク行くっす．今日は期待値ですね．数学Aに期待値があったことを知ったのがつい最近というのは内緒です．

期待値で一番分かりやすいのはギャンブルです．今，ちょっとしたギャンブルを考えましょう．ギャンブル嫌いの人もちょっとお付き合いください（笑）

さて，サイコロを一回振って，もし６が出たら600円もらえるギャンブルがあるとします．ただし，もし６が出なかった場合は逆に150円払わなければなりません．さて，このギャンブル，やるべきかどうか？というのが問題です．さぁ，やるべきかやめるべきか．どちらだと思いますか？もちろん，ギャンブル嫌いだからやめるべき，というのは却下です（笑）

このギャンブルは，600円もらえるか，150円払うことになるかという二通りの結果しかありません．あなたがギャンブルをした時に，そのどちらになるかは結局神のみぞ知るです．だから神に聞いてください．以上！！！！・・・では数学になりませんね．ではどうやったら判断できるでしょうか？


この場合，自分が一人しかいないから難しくなってしまいます．運次第で，二通りの結果にしかならないですからね．ここでもし自分が１億人いるとしたら，全員がギャンブルやったときの結果を合わせて考えれば，このギャンブルが得なのか損なのかがはっきりしてきますね．


しかし，自分は一人しかいません．その場合どう考えるか！そう，自分を分解してしまえばいいのですっ！！！！！



自分をたくさんの自分へと分解して，それぞれにギャンブルをやらせてあげたときの，その結果を集計すれば良いのです！！さて，実際にやってみましょう．

たくさんの自分がいた時に，ギャンブルに勝つ自分と，ギャンブルに負ける自分がどのくらいいるのかをまず考えます．サイコロで６が出れば勝ちなわけですから，その確率は1/6です．逆に負ける確率，６以外が出る確率は5/6です．つまり一人の自分を分解してギャンブルをやらせたら，1/6人はギャンブルに勝ち，5/6人はギャンブルに負けることになります．（自分の人数が，発生する確率と同じである点に注意してくださいね）

さて，ギャンブルに勝てば600円もらえるわけですから，ギャンブルで勝った総額は
　600円×1/6人＝100円　です．
一方，ギャンブルに負けた場合150円払うわけですから，ギャンブルに負けた総額は
　150円×5/6人＝125円　です．

よって，全員（といっても自分一人分ですが）のギャンブル結果の総額は，


100円（6が出た場合） - 125円（6以外が出た場合) ＝ -25円





負けてるー！！！損してるーーー！！つまり，このギャンブルをやると，25円損するということです．もちろんこれはあくまで，多数の自分がギャンブルを行った時の平均的な値です．実際に１回ギャンブルをしたら，600円もらえるか，150円失うかのどちらかしかありません．ただ，このギャンブルが損しやすいということは分かるわけです．

この-25円という値のことを，期待値と言います．つまり，一回のギャンブルで平均的に得られる結果のことを指します．



さて，期待値の一般的な計算方法について説明しましょう．基本的には先ほど示したように，

その結果で得られる値　×　分解した自分の人数

を，全員分足し合わせることで，期待値は得られます．ここで，自分を一人だとすると，先ほどの話の中で示したように，分解した自分の人数は，その事象の発生確率と同じです．よって，上の式を事象を使って書き換えると，

その事象で得られる値（ギャンブルの結果の金額）　×　その事象の発生確率（そのギャンブル結果になってしまった人数）

これを，全事象足し合わせたものと同じです．

◆ 付け足しメモ ◆ ちなみにたいていのギャンブルは期待値がマイナス，つまり損する計算になっています．宝くじなどは300円払って得られる金額の期待値は150円程度です．つまり買うごとに半額失うわけですね．もちろん運がよければ３億円手に入ることもあるのですが，あなたが平均的な運の持ち主であれば，半額損をするということになるわけです．

さて，これにて数学Ａの確率における基本部分の説明は終了です．もっと細かい話は色々あるわけですが，抑えておくべき重要な点だけを説明しています．他のことは，この考え方の流用でたいていなんとかなります．細かい部分を説明すればするほど，数学って分かりにくくなるように思うんですよね．ほんとに重要な点だけ説明すれば，あとの細かいことも理解しやすくなるし，とっつきやすくなるのでは，と思って書いています．

さて，この後何回かは，実際の問題に対してどう考えていけばいいかを，未説明の部分を交えて説明していきたいと思います．（もちろん，もっと細かい部分などを知りたい場合は，ほかのサイトを調べてみるのも良いと思います．ここで示した話を抑えておけば，理解しやすくなっているのではと期待しています（笑））

んーでも，その前に閑話休題を挟もうかなーとも思っています．お話として書きたいな〜と思っていることがあるので・・・ま，そのへんはおいおい．

それではー．

数学ガール上を宣伝しておきながら，下をしていなかったので下に置いておきます．フィボナッチ数列とか，普段の生活で使わないよねーというようなお話でも，こういった形で見せられると興味を持っていけるのかな〜と．数学の面白さに触れるには良いと思います． 数学ガール 下 (MFコミックス フラッパーシリーズ) 新品価格 ￥620から (2010/11/3 20:35時点) 漫画でサクサクよめて，数学にも興味を持てるなら，それが一番ですよね〜．文字と数式だけの文章は読みにくいですよ，実際．数学好きな人は，数式ならいくらでも読めるっていうんですけど，正直理解できなかったり（笑）

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前回　⇒　確率(8):組み合わせ


９回目ー！！明らかに当初の予定通り（全１０回）いかない感じ爆発だけどサクサクいこー．

さて，今日は区別のつかないものが含まれている場合の順列です．たとえば，１０円玉３枚と５円玉２枚を並べる方法ですね．これも，基本的な考え方は変わりません．さーいってみよー．

いま，１０円玉３枚と５円玉２枚があるとします．これの並べ方は何通りでしょうか？ただし，１０円玉や５円玉は，それぞれの区別がつかないとします．書かれている製造年月日とかで区別はできなくて，１０円玉はどれも同じと考えるということです．

ここで重要なのは，１０円玉３枚は区別がつかないことです．よって仮に，１０円玉３枚を１０円玉Ａ，１０円玉Ｂ，１０円玉Ｃとつけたとします．このとき，

１０円玉Ａ，１０円玉Ｂ，１０円玉Ｃという並びと，
１０円玉Ａ，１０円玉Ｃ，１０円玉Ｂという並びは

区別つかない，つまり同じ並び方であると考えるわけです．

さぁ，これをどう解くのか．ここでもあの考え方が生かされます！！




全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんだぁ！！！





ここで無視したい並びは何か！１０円玉がどう並んでいても，無視して同じ並びだと考えたいわけですから，１０円玉の並べ方で割ってしまえば良いわけです．これによって，上の図にあるような3! 通りある並び方は，１０円玉の位置が変わらないので，同一であると見なせるようになります．（図では，１０円玉が１番目，３番目，４番目にありますが，これが１番目，４番目，５番目など，ほかの場合でも状況は変わりません．よって単純に3! で割ってあげてよいわけです）

同様に二枚ある５円玉の並び方でも割ってあげましょう．








よって答えは，5! ÷ 3! ÷ 2!になります．

◆ 付け足しメモ ◆ この問題は，あくまで「順列」を求めていることに注意してください．「組み合わせ」の式と似ていますが，「組み合わせ」ではありません． よって，「組み合わせ」の問題と合わせた問題を作ることもできます．たとえば，「１０円玉３枚と５円玉２枚から，２枚選ぶ方法は何通り？」などです．しかし，この問題は簡単には解けません．なぜなら，２枚選びだしたときに，１０円玉と５円玉が含まれている枚数が一定ではないため，それぞれの場合に分けて（１０円玉２枚を選びした場合，１０円玉１枚＋５円玉１枚を選びだした場合，５円玉２枚を選びだした場合の三通り）考えなければならないからです．（最初の問題の場合，対象としている並びの中に必ず１０円玉は３枚，５円玉が２枚入っていると決まっているので，3! と 2! とで割って問題ないのです．つまり，どんな状況でも割る数が変わらないから，場合わけしなくて良いのです．含まれる数が場合によって違うと，同じ数で割れなくなってしまうので，場合わけする必要があるんですね）

さて，あとは期待値のお話と，順列・組み合わせで飛ばしていた，細かい話をしていく予定です．やはり１０回で収まりませんが，まいっか．それではー．

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次　確率(10):期待値

前回　⇒　確率(7)順列


８回目ですー．今日もサクサクいくよー．サクッと．


今回はついに，高校数学Ａの確率で最重要（と個人的に思っている）「組み合わせ」です！　これができれば，順列・組み合わせの両方をマスターできることになるわけですね．でも実は，もう組み合わせを簡単に理解できるようになっているはずなんですよ．いままでの話だけでね．なので，サクッと進めてみます！

組み合わせの典型的な問題文は，「５個のボールから２個選ぶ方法は，何通りあるか？」です．順列の時と似ていますが，「選びだしたボールを並べる方法」については聞いていない点が違います．そう，つまり「ボールは選びだすけど，並び方は気にしないで」ということです．あれ，どこかで聞いたフレーズですね．

そう，順列の時に，余ったボールに対してつけられていた条件と同じですね．さぁ，ここで今一度思い出しましょう．


全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんだぁ！！！



そう，ここでは「選んだボールの並べ方」を無視したいのだから，選び出したボールの個数の並べ方である2の階乗で割ればいいのです！！！さて，この考え方を適用すると図のようになります．





さぁ，この問題の答えは　

5! (ボール全体の並べ方）÷3! (余ったボールの並べ方) ÷2! (選んだボールの並べ方)

となります！！重要なことは，余ったボールの並べ方も気にしないことに加えて，選んだボールの並べ方も気にしないという点です．だから，3! と 2! の二つで割るんですね．


次に，順列の時と同じように数式で考えてみましょう．n個のボールの中から，r 個のボールを選びだす方法について考えます．この時の組み合わせ方法は，nCr と表現されます．





順列の時と違うのは，選びだしたボールの並びを無視するために，r ! で割っている点だけです．順列も組み合わせも，考え方は似ているんですね．

◆ 付け足しメモ ◆ ちなみに，nCn-r = nCr　となります．これはどちらも，５個( n )のボールを２個( r )と３個( n-r )に分ける点で同じだからです．分けた後で，最終的にどちらを使うかという違いしかないからですね．計算式も同じになっていることからも分かるかと思います．

さて，さらに組み合わせの応用問題を解いてみましょう．

問題「9個の石を，4個，3個，2個に分ける方法は何通りあるでしょうか？」

今回は選びだすというものでなく，グループ分けです．しかも三つのグループです．でも，基本的に組み合わせの考え方と変わりません．選びだすということは，選ぶものと選ばないものにグループ分けするのとほぼ同じです．そして，グループ数が三つであっても，無視したい部分の並べ方で割るという考え方は変わりません．

◆ 付け足しメモ ◆ ここで，「ほぼ」と言っているのは，実際は少し違う場合があるからです．その違いはのちほど触れていきます．

よって，9! ÷ 4! ÷ 3! ÷ 2! となります．実際，なんら難しいことはありませんね．





さーサクッと次の問題いってみましょうか！

問題「9個のボールを，3個, 2個, 2個, 2個に分ける方法は何通りか？」

これも簡単！ 9! ÷ 3! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! ですね，，，，，というのは間違いです！！！！！！さて，なぜでしょうか？

この問題となるのは，「2個のグループが複数ある」ことです．そう，組み合わせを考えた時，このグループの間で重複が生まれてしまうからなんですね．





前回の問題は，４個，３個，２個の組み合わせに分けていたので，重複は生まれませんでした．含まれている数量が違うので，４個のグループを３個のグループと入れ替えることはできないからです．しかし，今回は２個のグループが複数あり，それらを入れ替えることができるために，重複が生まれてきます．


では，これを対処するにはどうしたらいいのか？ここでもあの言葉を思い出してください！！！


全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんじゃぁ！！！



今無視したいのは，２個のグループの並べ方ですね．ここの並べ方を無視してあげれば，重複はなくなります！今，２個のグループは３つあるわけですから，その並び方は3! です！！よって，この問題の答えは，9! ÷ 3! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 3! となります．

◆ 重要ポイント ◆ 問題文が「9個のボールから7個選んで，3個, 2個, 2個に分ける方法は何通りあるでしょうか？」であった場合の答えは，9! ÷ 3! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2! になります．9個のボールを3個, 2個, 2個, 2個にグループ分けするという点では変わらないのですが，三種類ある２個のグループのうちの一つは，選ばれないグループであり，選ばれる他二つのグループと入れ替えることができないため，並べ方に含めて考える必要はないわけです．選ばれないグループはある意味，捨てられているわけですから，選ばれているグループと交換できないわけですね．よって，含める必要のある，二つのグループに対しての並べ方である，2! で割ることになります． これが先ほど言った，「グループ分けする」のと，「選ぶ選ばないの二つに分ける」ことの違いです．「グループ分け」ではそれぞれのグループの違いはないですが，「選ぶ選ばない」では違いが現れます．よって，「４つのボールから二つ選ぶ」場合は，4! ÷ 2! ÷ 2! = 4C2になりますが，「４つのボールを二つずつに分ける」場合は，4! ÷ 2! ÷ 2! ÷ 2!になります．

今回までの組み合わせの問題では，それぞれ異なる数字の書かれたボールを扱いました．これは，それぞれの区別がつくということを意味します．それでは区別つかない場合はどうなるのでしょうか．たとえば，10円玉3枚と5円玉2枚の並べ方は？という問題などです．実はこの問題も，あの考え方を使って解くことができます．

その話はまた次回！！！

最近は大人が数学を勉強し直すことがブームになっているようです．．あのころできなかったことに，再チャレンジしたいという人が多いみたいですね．そんなブームに一役買っているのがこの「数学ガール」です． 数学ガール 上 (MFコミックス フラッパーシリーズ) 新品価格 ￥620から (2010/11/3 20:40時点) 前回の順列の際にも紹介しましたけど，こちらは漫画版です．数学を題材として数学に慣れ親しめるようにする上では，漫画は良い方法ではないかなーと．もちろん，きちっと理解をしたいのであれば，原作である小説版を読んだ方がいいと思うのですが，入口としてはできるだけ簡単な方がいいのは事実ですよね．数学に慣れ親しむってのは，このサイトのコンセプトでもありますしね．

次　確率(8)区別なしの順列

前回　⇒　確率(6)階乗！

七回目ー！！！ラッキーセブン！今回は，高校数学Aの確率で重要な「順列・組み合わせ」から，順列を勉強しますよー．

さて，とりあえずは，前回の疑問についてのお話です．忘れている方は前回のお話をもう一度ご覧下さいな．



それでは前回の疑問点を簡単にまとめましょう．


１〜５までの数字が書かれた五個のボールから，二つ選んで並べる方法は何通りあるのか？という問題を考えると，その答えが，


5! (ボール全部) ÷ 3! (並べるのに使わなかった，余ったボール) = 5 × 4


と書けますよ！ということでした．さて，どうしてそう言えるのでしょうか？？？


まず，この問題は，５個のボールを色々並べた時に，前二個の並べ方が何通りあるかを調べることと同じなのがおわかりでしょうか？５個のボールの中から二つ選んでいるわけですから，残りの三つは放置されています．これも一応並べてあげれば，５個のボールの並び方を考えるのと同じになりますよね．



ただし，５個のボールの並び方を考える場合と違う点は，残された三つのボールの並べ方は無視する必要がある点です．だって，もともとは放置されていたわけですから，並び方を気にする必要はないですよね．


つまり，５個のボールの並び方の数である5! に対して，後ろ三個のボールの並びを無視してあげることができれば，答えが得られる！！！ということになります．



もし，後ろ三個のボールの並び方を無視しないと，前二個のボールの並び方が同じものがたくさん出てきてしまいます．５個のボールの並べ方である5! は，全てのボールの並べ方を気にしているので，図のように，前二つが同じ並び方のものが複数個出てくるのですが，それはいったい何個でしょうか？




そう，図からわかるように，ボール三個の並べ方の数だけ出てきてしまいます．よって，3! 個です！


さて，5! の中には，前二個の並べ方が同じになっているものが3! ずつあります．ですので，5! を3! で割ってあげれば，重複が取り除かれ（後ろ三個のボールの並びが無視されて），それぞれ一個ずつ残ることになります．よって，5! ÷ 3! が答えになるんですね！！！！





さぁ，まとめましょう！！．ちょっとここでは数学らしく，数式でまとめてみましょう．数式といっても簡単なものですので，軽く構えていてください．



今，n個のボールがあった時に，そこからr個選んで並べる方法は何通りあるか？という問題を考えます．nとr はどんな整数でもいいですが，n個の中からr 個選ぶので，当然r はnより小さくないといけません．また，n個のボールからr 個のボールを選んで並べるわけですから，この時余ってしまったボールの数はn-r です．この時，問題の答えは，


n! (ボール全部の並べ方) ÷ (n-r )! (並び方を考える上で余ったボールの並べ方)


となります．公式という形になると覚えづらく感じる人も多いでしょう．実際，公式を単純に覚えるよりは，意味で覚えてしまったほうがいいと思います．ここで重要な点は，


全体の並べ方から，一部の並べ方を無視したいなら．．．

　全体の並べ方を，無視したい部分の並べ方で割るんだぁ！！！



ということです．この考え方を覚えるようにしてください．この考え方は後の話でも使いますよ〜．

◆ 付け足しメモ ◆ さて，突然ですが，５個のボールから５個選んで並べる方法は何通りでしょうか？ ５! ですよね〜．このことを，今回の式に当てはめてみると， 5! (ボール全部の並べ方) ÷ 0! (並び方を考える上で余ったボールの並べ方) となります．この式が5! と等しいと考えると，0! = 1であるということになります．感覚的には0! は0でしょ？という人もいると思うのですが，ぶっちゃけこっちの方が扱いやすいので，数学では0! = 1となっています．そう決めてしまったわけですね．

さて，最後に一つ．今回の問題（全体から一部を抜き出して並べる時の並べ方の数）は，実は階乗と同じように，名前が付いています．それが「順列」です．

順列はnPr という形で表現されます．よって





まー実際のところ，nPr はあんまり使いません（ぉい）．それよりも次に話す，「組み合わせ」の方が重要です．この「組み合わせ」も，今回お話した考え方をちょっと応用するだけで簡単にできます．

そのお話は次回！！！！

数学というのはどうしても無味乾燥なものに思われがちな面があります．実際には面白さがあるのに，そこに触れる前に毛嫌いされてしまうところがあるように思います．そこは結局何が問題なのかって，学校では数式や理論を教えるだけになってしまい，それが何なのか，どういう意味があるのか，という点はほとんど触れてくれないことではないかと思っています．ただただ，数式を覚えさせられるでは，だれだってつまらなく感じてしまいますよね． 数学ガール 新品価格 ￥1,890から (2010/11/3 20:44時点) もう紹介する必要もないくらいに有名に？なっている，数学ガールでは，そういった視点を大事にしていたことが評価されているのだろうと思います．小説を読むような感覚で，一度数学に触れてみてはいかがでしょうか？

次　⇒　確率(8)組み合わせ