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割り算ができない

　　　0.1秒で１０ｃｍ進んだ時、秒速いくつでしょう？
　ときくと、わからない子がけっこういます。
　　これがわからない子でも２秒で１０ｃｍ進んだ時の秒速はわかります。

　分数・小数で割るとなると、固まってしまいます。

　結局、割り算というものがわかってない様です。

　できない子は割り算をどうイメージしているか？

　　言葉通リに割るということから分けるというイメージだけで、
　　割る数は整数しかイメージがわかない様です。
　　なにがわからないか、わからず、考えている内にあきらめてしまっている様です。

　そこで、割り算を説明する親御さんもいっしょに考えてみましょう。

　割り算の基本イメージは　”分ける”　です。
　　１０００円を４人で分けるといくらでしょう。
　　では、　　１０００　÷　　４　　＝　　２５０

　このイメージはみなさん掴んでいる様です。
　しかし、困ったこと、このイメージだけに満足している子がいます。
　その子には次のイメージを伝えましょう。
　
　割り算の応用イメージは、”何倍”　です。
　　１０００円は４円の何倍でしょう。
　　では、　１０００　÷　４　＝　２５０

　ここまでは、なんとかいけるでしょう。
　次から、いよいよわからなくなります。

　割り算の発展イメージは、”決まった量当たりの数”　です。
　４秒で１０００ｍ進みました。一秒あたり何ｍ進んだでしょう。
　では、　　１０００　÷　４　＝　２５０

　これらのイメージがつかめていないと、割る数が分数や小数になると
子どもはパニックになります。
ただただ、わからない、の連発。

　この時点で　いままで問題を解けている様にみえていても
実は、理解していなかったんだ、と発覚します。

公式は覚えない様にしましょう。

　公式とは定義から導き出されるもので、便利な式のことを言います。
　しかし、便利が故に使いすぎると、なにをやっているのか、わからなくなることがよくあります。
　よく使う公式で　”みはじ”　でお馴染みの　道のり　＝　速さ　×　時間　というものがあります。
　そこで、中学生のよい子に質問します。　距離　ｘ　キロメートル　を　時速　３キロメートル　で　歩くと　何時間かかりますか？
　
　子どもは考えます。　道のり　＝　速さ　×　時間　だから　　・・・・・・・・

　その結果　３ｘ　と答える子がなんと多いことか？

　そこで、質問します。　３キロメートルのところを　時速　３キロメートル　で歩くと　何時間？
　この答えは、ほとんどの子が　１時間とわかります。
　そこで、６キロメートルのところを時速　３キロメートルで　歩くと　何時間？
　子どもはちょっと考えて、２時間と答えることができます。

　そこで問題を戻して、”じゃ、　ｘ　キロメートルでは？”
　首をかしげながらも、ここで、相変わらず　３ｘ　と答える子もいますが、多くの子は　”ｘ　割る　３”　と答えてくれます。

便利なもの使い方だけ覚えて、使える気になってしまいますが、場面が変わると使えません。

　覚える公式の整理整頓をしましょう。　整理整頓とは要らないものは捨てて、必要なものを適切なところに置くことです。
　使わないもの、使えないものを頭に入れておくと、置いた場所がわからなくなって、必要なものが頭から取り出せなくなります。

　具体的には覚えないで済む公式はできるだけ覚えない様にしましょう。
　必要な公式を厳選して、その意味を理解し、使いこなすことによってすぐに取り出せるものにしておきましょう。

浪平が考える数学の勉強法

　数学ができない、できる様になりたい。しかし、できる様になりたいといってもいろいろなレベルがあります。せめて高校に入るために３０点でもいいからとりたい、入試で数学で点を稼ぎたい、将来理系の勉強がしたいのでどんな問題でも解ける様になりたい、など、人それぞれです。確かに日常生活でどこまで使うかは人それぞれです。個性もそれぞれ、それぞれに合った勉強法はどうでしょうか。私は次の様に考えます。


レベル１：　数学は嫌い、少しでいいから点をとりたい。３０点でもいいからなんとか（偏差値４０以下）

　　勉強して、点をとりやすそうな問題は計算問題です。計算問題だけでも２０点くらいはとれると思います。計算を完璧にしましょう。
　　正負の計算、文字と使った計算、因数分解、２次方程式の解をもとめる。平方根の計算、を徹底的に練習しましょう。
　　計算問題の２０点、及びその他の基礎問題の２０点の計　４０点の内なんとか３０点をもぎ取りましょう。


　レベル２：　できれば平均点にとどけば、または平均点に近い点数をとりたい。（偏差値　４０〜５０）


　　計算問題の正解率を上げるとともに、標準問題のなかで、点を取りやすい問題にとりくみましょう。　　
　　勉強すれば、できそうな確率問題、体積、表面積、比例、一次関数などの標準問題をなんども解いてみましょう。　　
　　模試での結果から全体の正解率が高いにもかかわらず、できなかった問題及びその類似問題をなんども解いてみましょう。
　　例題で示されている解法をじっくり理解して、なんども練習しましょう。
　　繰り返し、日にちを変えて、３回は解いてみましょう。


　レベル３：　　できたりできなかったり、なんとか得意科目にしたい（偏差値　５０〜６０）


　　標準問題をなんども解いてみましょう。間違えた問題は３回連続正解になるまで、日にちを変えて解きましょう。
　　模擬試験のテスト直しは宝物です。なんども見直して、自分の間違えるパターンを分析しましょう。
　　かならず、決まったパターンが見つかります。それが見つかればその類題を日にちを変えてなんども類題を解きましょう。


　レベル４：　数学は好きな科目で将来理系の勉強を活かした職業に就きたい（偏差値　６０以上）


　　応用問題を解きましょう。解説、例題の解法を見ずに、少なくとも５分は考えて見ましょう。
　　応用問題は、今まで習った解法を組み合わせて解きます。今まで習ったことを如何にくみあわせるか、その構想を立ててみましょう。
　　例題や解説をみると、どう組み合わせるかはわかります。しかし、なぜそう組み合わせる発想ができたかは解説されていません。
　　そこで、いままでの知識をどう組み合わせるか、その訓練をしましょう。時間が足りなければ、その構想を立てた段階で答えをみて、構想が正しいかどうかを確認して、できるだけ多くの問題の解法の構想を立ててみましょう。そのうちに構想をたてるパターンが自然と掴めてきます。



　見ている側は、勉強をしなさい、と一言ですまされますが、一生懸命勉強している子にとってはたまったものではありません。もっとも出来ない子のほとんどは、勉強時間が足りない、勉強している様に見えてもまともに勉強していない、のですが、希に真面目に勉強している子もいます。その様な子をなんとかしてあげたい、と思う今日この頃です。

数学ってなぜ勉強するのか？
娘の教科書にも、なぜするか、教科書なりの考え方がかいてある。

　娘の教科書には、数学を学ぶということとの題名で、次の様に書かれている。
　１．人間が数千年もかけてつくりあげた文化。　計算や定理の寄せ集めではない。
　２．すべてのものが学ぶべき必修の学問という意味が含まれている。
　３．身近な生活に役立つとか役立たないとかというだけでなく、調和をとれた美しい世界をみせる。
　４．論理的に考える力をもち、自ら考えることが大切です。民主主義の実現にとってなくてはならない。


なかなか、いいことが書いてあった。
しかし、中学生にとって、現実的な理由は、

自分のしたいことの選択肢をひろげるため、
入学できそうな高校を増やしておいて、自分の行きたい高校を決めるため、
高校も、将来的に選択肢の広い高校を選ぶ。
選択した高校に入学するため、

中学の段階で、教科の勉強といっても各分野の入口部分で、
とてもとても、中学の段階で得意だからといって、
その分野の奥に入っていけば、面白いかどうかはわからない。

各分野の奥に進んでいって、どこまで入り込めるか？
で、数学の勉強はなにに役立つかは、
日常生活レベル・数学パズルから宇宙開発レベル・世界貢献レベルまで、目的は変わってくる。

娘の納得するレベルに達すれば、と思う今日この頃です。

中学生になっての数学、娘はアップアップであった。

”０”より小さい負の数があって、
負の数の四則演算を習ったと思ったら、
今度は、文字をつかった式がでてきて、
方程式になって、
と思ったら、文字の数も増えて、方程式の数も増えて、

頭が混乱している様である。
なんかの拍子で、やっとの思いで、方程式をたてられた、と思ったら、
負の数を含む計算を間違えて、
娘は発狂状態。

数学を嫌にならないうちに、ここのところをマスターしてほしい、と願いつつ、
計算は慣れてくれば、間違えなくなるから、とあやしながら、
つまずいたところは、嫌にならないうちに教えるか、
　　　いまはわからなくてもいずれわかるとか、教科書の説明が悪いからこうだ、とか

そうこうしている間に、不思議と、気がついたら、そこそこできる様になってきていた。
最初は、なんで、おかしい、と怒りながらも、
テストではそこそこの点数をとれる様になっていた。
中学３年になると、受験問題にも負けず、取り組める様になってきた。
大きな成長であった、と感じている。

自分自身でどう勉強するか、固まっていない中学生では、
勉強そのものの内容以上にむずかしいことが、多い、と感じたが、子供は順調に成長してくれた。
また、高校に入っても、成長してくれることを願っている今日この頃です。

なぜ、掛け算・割り算は足し算・引き算より、先なんだろう？

今になってみると、そんなこと当たり前、
あたり前体操に歌にできる程、当たり前。

それが、それが、子供の計算をみてみると、
しばしば間違える。
指摘すると、そうだ、気づいて訂正する。

なぜ、そんな順番に計算するの？　なぜ、左から順番にしないの？

うーん。。。　うまく答えられない。
1＋１はなぜ２なの？　をうまく答えられないのと同じ感覚を受けた。

あれ、なぜ
今になって思うと、そんなルールは当たり前で、中学生当時どう思ったか？
も思い出せない。


調べてみると、それなりの経緯がある様である。
　掛け算が足し算より優先というルールは１７世紀に自然と生まれ、反対意見もそんななかった。
　しかし、いくつかのルールは１９２０年代でも共通認識となっていなかった、様である。
　四則演算の順序、PEMDAS(括弧、指数、乗法除法、加法減法)という言葉は、
　１９世紀の終わりか、２０世紀になってから、教科書産業の成長と共に登場した。

とのことである。
明確にルールとしては、いろいろと変遷があり、まだ１００年も経っていない、とのことである。

なるほど、中学生の段階で、いきなり４則演算の混じった計算をみせられて、
わからない、方が普通である、と感じた。

子供にとっては、わけのわからい数学の世界をみせられて、
いきなりわかって、しっくり頭に入る方がおかしい。

中学生の勉強では、ある段階毎に、今までの感覚から飛んだ世界を受け入れなければならない。
そんな時を見逃さず、なんとか、数学を嫌いにならない様、数学の世界を伝えていきたい、
と思う今日この頃です。

負の数と負の数を掛けると正の数って、

中学生の頃、こうなるんだ、と言われ、
なんとなく、なりそうだ、と思い始め、
今では、当然だ、と考えていた。

それが、改めて、考える様になったのは、娘の勉強を見始めてから。
娘は、マイナスとマイナスが重なるとプラスになるから、
計算はこうなって、
と計算していく。

テストの結果をみると、プラスとマイナスを忘れたり、点け間違えていたり、
結局は、単なるケアレスミスではなく、
プラスとマイナスのイメージがつかめていない様であった。

マイナスの足し算と引き算は、
借金があると、マイナスで、おばあちゃんからこずかいをもらうとプラスで、
とお金の感覚から、なんとなく、イメージは湧いている様である。

　　例えば、掛け算のイメージは、一人に100円のこずかいを　兄弟３人に渡す場合、いくらか？
　　との実際の場面を想像することができる。
　　割り算は、300円を兄弟３人で分けると、一人いくら？

と実際の世界に存在することから簡単にイメージできる。
しかし、マイナスの掛け算とかなると、ましてやマイナスの割り算となると大変である。

マイナスの掛け算、割り算は、特殊な場合を想定すれば、イメージすることはできなくもない。
計算の規則性からも導き出すこともできなくもない。

しかし、高校、大学となって、いろいろなイメージ（例えば、虚数の様な概念とか？）に慣れてくると
実際にある世界でなくても、虚構の世界をイメージできる様になってから言えることの様に思う。

ここで私が課題と思っていることは、
その様な世界をイメージすることができない中学生にいかに教え、
数学を嫌いにならない様にするか？　面白いと思って勉強できるか？
ということです。

あまりややこしい概念を押し付けても、嫌になってしまうと思うし、
かといって、こう覚えておきなさい、といってしまうと数学の世界から反する、と思うし。。。。


但し、私の娘についていえば、
ラッキーなことに、数学を好きになってくれました。
学校での成績もまずまずです。
でも、ややこしい概念、屁理屈を言い始めると、毛嫌いしてしまいます。

でもよく考えてみれば、私が娘をみるから、まだまだと思うだけで、
数学オタクが私をみれば、まだまだ、と思うでしょう。

結局、人それぞれ、面白いと思える程度に突っ込めればそれでいい、
と思っている今日この頃です。

娘の数学の教科書の題名は、
　[数学の世界　３年]
Mathematics World

このこだわりをもった命名はなにかある、と思い、
教科書の中身をみてみると、
教科書の最後に、Mathful　数学がいっぱい、との造語とともに、
いろいろと、中学生に、数学に興味を持ってもらい、エピソードや薀蓄が載っていました。

〜〜　抜粋すると　〜〜

数の広がり
　数学者デカルトが「座標」の考えを発見して、負の数が数として、認められる様になった。
素数の世界
　素数は、２，３，５，７、・・・と続くことはわかっているが、素数がどのような法則で続くかは、
はっきりわかっていません。
・・・・・・・・・・・

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２次方程式の歴史
８２０年ごろ、当時は負の数が知らされていなかったため、
・・・・・・

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方程式の発展
落下運動の発見
身近にある放物線
ねずみ講のわな
不思議な数の列
ドレミの秘蜜

音律と音階の科学―ドレミ…はどのようにして生まれたか (ブルーバックス) 新品価格 ￥903から (2013/2/22 19:21時点)

対称な音楽
・・・・・・・・
・・・・・・・・

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜


参考となる本も載せて、
”中学生に数学が好きになって欲しい？”　との著者の気持ちが伝わってきた感じがした。

娘は英語より、数学が好きなので、娘はきっとなにか感じたことがあるだろう、と思って、
娘に聞いてみた。
　”教科書の付録のMathfulって知っている？”

娘は、
　”なんか書いてあることは知っているよ。　なにが書いてあるか、はわかんない。”

大人からみて、よかれ、と思っても、子供にはどこまで伝わるか？
難しい。。。。。


　

中学生になって、正の数・負の数が出てくる。
自分ではわかった気になっていたが、娘に教えるとなると、
悩みはじめてきた。

中学生で負の数ってなに？
お金だったら、借金
数直線上だったら、0 より右側が正で左側が　負

まあ、そこまではなんとか教えることができた。

問題は正・負の数の掛け算、割り算。
１０÷２　は１０コを２人で分ければ一人５コで、わかりやすい。
でも
１０÷　（−２）　はどういう意味？
−２人で分けるでどういうこと？

う〜ん、説明が苦しい。
そこで、１０を２で割って、後で　−　をつければいい。
これって説明になっているのか？

日頃、私は娘に言っている。
　数学は覚えるな！　理解しろ！

そこで、娘は、覚えろっていうの？？
と返してくる。

う〜ん、ここはむずかしいな？？　とりあえずいまのところは覚えて？？
と困っていると、話を変えてくれる。

２〜３か月たって、勉強をみると、
娘は計算問題はできる様にはなってしまっている。


最初の段階で、どこまで理解したらよいか？
いずれわかってくるのか？　問題を解ければいいとわりきってしまうのか？

と考えつつ、子供の成長を楽しみにしている。


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算数（分数で割るって）

　
　10個のりんごを２人で分けたら　10個÷２で２個

　そこで、
　娘に１/２で
　分数で割るって、意味わかるか？
　と娘に訊いてみた。
　わからない、でも分子と分母を逆にする、
とのこと。

　なぜを考えれる前に、解き方だけを覚えさせてしまう。
ちょっと恐ろしく感じています。
解き方をマスターした後でも、いずれその本質的な意味はわかってくる、
と思っていたが、実際は、解き方を覚え、その時点で問題が解ければ、終わり、
という子供が多い。

　娘には、10個りんごを半分づつ切ると何人に配れる、と訊いてみると、
２０人と答えはでてくる。
　まだ計算と実生活と結びついていないのか、と思いつつ、
早く、算数の楽しさを味あわせない、と大変なことになる、
とも思いつつ、教育の大切さを感じる今日このごろです。