ていへんかけるたかさわるに

今日までで圏の骨格 (skeleton) を圏として構成する問題で, 対象の集まりと射の集まりを定義するところまで辿り着いた.
対象と射の定義は何度もやり直している. 今回の定義も明日以降に慎重に見直してみないといけない.
後は圏の要件となる 4 つの関数を定義して 4 種類の図式の可換性を示せばよい (†).

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†: 圏の要件となる 4 つの関数とそれらが満たす 4 種類の図式

$\mathscr{C}$ を任意の圏とする.
圏の骨格の射の集まりを $A$, 対象の集まりを $O$ とおく.

4 つの関数 $d^0$, $d^1$, $u$, $m$ は以下のように定義される.
(1) $d^0, d^1 : A \to O$
$A$ に属する任意の射 $f : X \to Y$ に対してそのソースとターゲットを与える:
\begin{equation*}
d^0(f) = X, \quad d^1(f) = Y
\end{equation*}
(2) $u : O \to A$
$O$ に属する任意の対象 $X$ に対してその上の恒等射を与える:
\begin{equation*}
u(X) = (\mathrm{id}_{X} : X \to X)
\end{equation*}
(3) $m : P \to A$
集まり $P$ を
\begin{equation*}
P = \left\{\, (f, g) \mid f, g \in A,\, d^0(f) = d^1(g) \,\right\}
\end{equation*}
と定義する. $(f, g) \in P$ ならば $f$ のソースと $g$ のターゲットは等しく射の合成が可能である. その $f$ と $g$ の合成を与える.
\begin{equation*}
m(f, g) = f \circ g
\end{equation*}

圏 $\mathscr{C}$ の骨格 (skeleton) $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ を 6 つ組
\begin{equation*}
\mathrm{sk}(\mathscr{C}) = (A, O, d^0, d^1, u, m)
\end{equation*}
として定義する.
$\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ が以下の4 種類の図式を可換にするならば $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ は圏である (図式による圏の定義).
(1) 恒等射のソースとターゲットが等しいことを示す図式:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[rd]_{d^0} & O \ar[l]_{u} \ar[d]^{\mathrm{id}_{O}} \ar[r]^{u} & A \ar[ld]^{d^1} \\
~ & O &
}
\end{xy}
\end{equation*}
(2) 射 $f$ と $g$ の合成 $m(f, g) = f \circ g$ のソースは $g$ のソースに等しく, ターゲットは $f$ のターゲットに等しいことを示す 2 つの図式 (以下の図式において $p_1, p_2$ は座標関数 ── $p_1(f, g) = f$, $\,p_2(f, g) = g$):
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_2} & A \ar[d]^{d^0} & P \ar[d]_{m} \ar[r]^{p_1} & A \ar[d]^{d^1} \\
A \ar[r]_{d^0} & O & A \ar[r]_{d^1} & O
}
\end{xy}
\end{equation*}
(3) 任意の射に対して右から恒等射を合成した結果および左から恒等射を合成した結果はどちらも元の射に等しいことを示す図式:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[r]^{(\mathrm{id}_{A}, u \circ d^0)} \ar[rd]_{\mathrm{id}_{A}} & P \ar[d]^{m} & A \ar[l]_{(u \circ d^1, \mathrm{id}_{A})} \ar[ld]^{\mathrm{id}_{A}} \\
~ & A &
}
\end{xy}
\end{equation*}
(4) 射の合成が結合律を満たすことを示す図式 (ここで集まり $Q$ を
\begin{equation*}
Q = \left\{\, (f, g, h) \mid f, g, h \in A,\, d^0(f) = d^1(g),\, d^0(g) = d^1(h) \,\right\}
\end{equation*}
として定義する):
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
Q \ar[d]_{m \times \mathrm{id}_{A}} \ar[r]^{\mathrm{id}_{A} \times m} & P \ar[d]^{m} \\
P \ar[r]_{m} & A
}
\end{xy}
\end{equation*}

7 時起床.
昨晩は熟睡できた. プールで泳いで心地よく疲れただからだと思う. それから午後歩いてユニクロに行ったのも関係あるかも.
肩と脚に筋肉痛がある. 全然泳いでいなかったからだが, 昨晩のようによく眠れるならもう少し行く回数を増やしたい.

午前中は数学をやる. 見直しが大半だったが大事なところ.

昼食はトマトとレタスのサラダとベーコンエッグ.

午後からチラシ配りに出かける.
昨日買った帽子を被った. 今日はそれほど暑くはなかったのではかどった.

夕食はポトフを作る. 気長に煮込むだけなので簡単でいい.

今日は夕方からの鬱が無かったのでよかった.
理由はわからないが...

以前書いた, 名前で指定したアプリケーションを停止する スクリプト にオプションを追加した.
使っていて, アプリケーションが存在するかしないかを調べるオプションが欲しかったので書き直したのだ.
"-s" がそのためのオプションである.

使用方法は

mykill  [ -s ]  <application-name>

となる. たとえばメモアプリ (アプリケーション名は Notes) に対して "-s" オプションを使うと

$ mykill -s notes
1084    /Applications/Notes.app/Contents/MacOS/Notes

と表示されて終わる.
オプション無しでアプリケーション名のみを指定するとそのアプリケーションを停止する.

$ mykill notes
Terminated: 15
$ mykill -s notes	# Check if the specified application was killed or not.

ところで今回, manpage の getopt(1) を読んで初めて知ったのだが /usr/local/share/getopt/ というディレクトリーがあって, ここに getopt の bash と tcsh のサンプルが置いてある.
手元の Mac にも入っていた. MacPorts でインストールされていたのだ.
役に立った.

オプションの解析は適当で完全ではない. しかしとりあえず iPhone の iTerminal アプリから使ってみてどうするか考える.

2018 年 4 月 19 日: 修正
たまたま見直してみたらスクリプトのコードが古いものだった. getopt(1) を導入する前のものになっていたのだ.
getopt(1) を使ったスクリプトのコードに入れ換えた.

#!/bin/sh

usage="usage: `basename $0` [ -s ] "
cmd=`basename $0`
proc=""

args=`getopt s: $*`

eval set -- "$args"

while true; do
    case $1 in
	-s)
	    proc="$2"
	    shift 2
	    ps -e | grep -i $proc | grep -v grep | grep -v $cmd |
		awk '{ printf("%s\t%s\n", $1, $4); }'
	    exit $?
	    ;;
	--)
	    shift
	    break
	    ;;
	*)
	    echo $usage
	    exit 1
	    ;;
    esac
done

proc="$1"
kill `ps -e | grep -i $proc | grep -v grep | awk '{ print $1 }'`

exit $?

6 時起床.
昨日の続きで数学をやる.
今日は, 圏の骨格 (skeleton) を圏として構成する対象と射を定義する部分を書く. 対象の定義は単純に行えるが射の定義はやや複雑になる.
自分にとっては証明の中で一番ややこしい箇所だと感じていることもあり, 集中できたと思う.

頭が疲れたし, 考えを整理したいこともあったのでプールに行った.
泳ぐのが久し振りなのですぐに息が上がってしまう.
絵もそうなのだが, 現在の自分は 2 時間くらい数学に集中すると脳がくたびれてしまう.
体力をもっとつけたい.

昼食はトマトとレタスのサラダ, ソーセージを焼いたもの, コーヒー.

今日は非常に暑いのでチラシ配りに行くのは止めた.
暑い日の陽射しはやっぱり辛い. 帽子があればいいのにと思った.
それで帽子を買いに出かけた. 家から歩いて 30 分ちょっとのところにユニクロがある. 2000 円くらいで買えるみたいだ.

帽子は無事に買った. 割と気に入っている. いい買い物ができた.

しかし体調を崩してしまう.
店の人混みの中で過剰に緊張した. そのうち, 店に買い物に来ている他のお客さんの邪魔をして, 足手纏いになって本当に申し訳ない, 自分はどうしようもなく駄目だという思いが浮かんで居場所が無くなったようだ.
縮こまって, 背中を丸めて...

どうしてもこういうときに冷静になれない. 落ち着いて考えることができない. おかしな思いから抜け出すことがどうにもできない.

帰宅して少し寝込んだ.

食欲は無かったが牛乳をコップに一杯.
頓服を服用してから休む.

6 時起床.

午前中はずっと数学をやる.
圏の骨格 (skeleton) を構築して, それが圏になることを示す問題の証明をひたすら書く.
証明の最終段階の一歩手前の大切なところなので一所懸命に神経を張り巡らせてじっくり進めていく.
こういう風な感じで午前中は充実した時間になったと思う.

昼食はもり蕎麦. 蕎麦は美味しい.

午後からチラシ配りに行く. 準備をしていたらなぜだか急に抑鬱感が強くなってきた. 外出することへの緊張と恐怖が原因かも.
外の空気を吸いたかったし体も動かしたかったので頓服を止むを得ず頓服飲んで体調を整える.
出かける.

作業中は何ら体調に問題は無かったが, 終わって帰宅してシャワーを浴びた後から気分が低下してくる.
ずぶずぶと鬱の中に沈んでいく感じ.
体が重くなる. 自然と背中が丸まって縮こまった姿勢になってしまう.
頭の中が灰色になって脳味噌が石のように重く固まってくるみたいだ.
何だかこのところ夕方からの鬱にやられている.

夕食代わりに牛乳を飲んでから寝込む.

6 時半起床.
午前中に数学をやる. 多分, 今考えていること (昨日の文章の中で書いた問題) が, 現在の自分の数学を考える力を最大限振り絞って何が何処までできるか, ということにかなり正確に合致していると思う.
問題自体は解決できたように思うのだが, 本当にきちんと議論が行えているかどうか, まだ考えないとわからない.

午後はプールに行こうと思っていたが, 昼過ぎから抑鬱感が強くなり駄目だった.
夜まで寝込んだ.

鬱の状態だが, 朝起きて鬱が苦しくなる前の適当なタイミングで頓服を飲むことで午前中の時間を数学に使うことができるようになった.
これはすごく良いこと.
頓服を飲むタイミングによっては眠気が強くなって寝てしまうが, 昼まで起きられないよりはいい.

夕方からの鬱が少し苦しい.
これは頓服を飲めばある程度は解消する. しかし眠ってしまって夜の睡眠に影響するのを避けたいこともあって苦しくてどうにもならない限りは頓服は飲まないようにしている.

日中あるいは夢の中で過去の記憶に苦しめられることも減ってきたが, こういう状態に陥ってしまったときにはやはり苦しい. 寧ろ以前より苦しさの度合いは高くなっているのではないかと思う.
心のパワーが回復してきたことで自分を責める力も強くなってきているのではと考えたこともある.
もっとも根拠は無く, ネットでも調べられていない.

プログラミングの勉強は HP-42S という電卓を使って続けているのだが, データ構造や計算の状態遷移などを理解することがまだ非常に難しい.
なぜなのかはわからないが, そのような考え方をする頭の中の何かが弱っている, 機能が低下している, まだ回復していない.
回復するのだろうか...

しかし鬱は確実に回復してきている. 実感としてそう言える. 人間の体というものは凄いものだ.
残った症状はまだまだあるが, これは無理をせず時間をかけて回復を待つしか無いのではないかと考えている.

前の主治医から, 自分の鬱は PTSD (Post Traumatic Stress Disorder: 心的外傷後ストレス障害) の症状を伴っているとその理由の説明と共に診断された. その説明の中に, 心は肉体と同様に傷を負うものであるという言葉があってすぐにはわからなかったのだが, あるとき腑に落ちた.
心のケロイドみたいなものが確かにある.
2014 年に自分に起こったこともそういうことだ. こちらのほうは人と普通に話せない・ネットが怖い・コミュニケーションがわからない・思い出すことを心が強烈に拒んでいる, という症状として残っている.

傷が癒えるには時間がかかるのだ.

7 時起床.
昨晩は熟睡できたと思う.

午前中, 数学をやる. かなり集中できた. しかし...

昨日は絵を描く行為に集中できた. ゆっくりと鬱から回復しているからだと思う. うまい言い方ができないが, 絵の中に入り込むくらい集中できた.

それと比べてしまうと, 数学への集中度はまだ先がある感じがする. どこか思考の緻密さが欠けているような.

やろうとしていることは単純である.

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$\mathscr{C}$ を任意の圏とする. $\mathscr{C}$ の射の全体 $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ も圏になる. $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ を圏 $\mathscr{C}$ の射圏 (arrow category) と呼ぶ.

$\mathscr{C}$ の 2 つの射 $f : X \to Y$ と $g : X' \to Y'$ に対して, 同型射 $u : X \to X'$ と $v : Y \to Y'$ が存在して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
X \ar[d]_{f} \ar[r]^{u} & X' \ar[d]^{g} \\
Y \ar[r]_{v} & Y'
}
\end{xy}
\end{equation*}
が可換図式になるとき, $f$ と $g$ は射圏 $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ において $(u, v) : f \to g$ を同型射として同型であると言い,
\begin{equation*}
f \simeq g \quad (\text{in} \, \mathrm{Ar}(\mathscr{C}))
\end{equation*}
と表わす. $f$ の $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ における同型類を $\left[ f \right]$ と書くことにする.

ここで $f : Y' \to Z$, $g : X \to Y$ が $\mathscr{C}$ の射で,
\begin{equation*}
Y \simeq Y' \quad (\text{in} \, \mathscr{C})
\end{equation*}
が成り立っているとき, $\left[ f \right]$ と $\left[ g \right]$ の合成 $\left[ f \right] \circ \left[ g \right]$ を整合性のとれた形でどのように定義すればよいか.

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無理をせず地道にやる.

午後はチラシ配りをした. 外出することへの抵抗感がちょっと強くて慎重にやったが体調は大丈夫だった. 安心した.

帰宅してシャワーを浴びて夕食の支度をする.
ポトフを作った. ソーセージ, キャベツ, 玉葱, 人参, 茄子を入れる.

6 時半起床.
やや鬱が苦しい. 昨日のチラシ配り中に体調を崩したことと関係するのかわからないが, 夢の中で過去の記憶が繰り返し浮かび上がってきて苦しかった.

今日は作業療法で絵を描きに出かけるので弁当を作る.
海苔弁当で, おかずはソーセージを焼いたもの, キャベツのスパイス炒め, 茹で卵, 白菜漬け.

雨が降っていたためアトリエに閉じ籠もってひたすら絵を描く. もうすぐ完成. そのせいで集中できた.
ただただ描き続けてやっと完成した. 同じ姿勢をとっていたため体がばきばき鳴りそうに凝っている.

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コーヒーを飲んで一休みしながら, 同じく一休みしていた患者さんの一人が, たまたま遊びに来ていた彫刻家のかたと会話しているのを脇で聞いていた. 何となく聞いていただけなので聞き間違いもあるかも知れないが次のような感じの会話.

彫刻家のかたは以前は広告会社で営業をやっていた. けれど, もともと人付き合いが苦手な上に必死に無理をして頑張った挙句に心を病んでしまう.
休んでいる間に芸術への情熱が醒めていない自分に気付き,とうとう会社を辞めて芸術で生きていくことを決める.

美大時代に専攻していたデザインではなくて彫刻を始めた. 指導してくれる先生を見つけ, 並行して若手の彫刻家のグループにも参加して, バイトで生活費を稼ぎながらとにかく作品を作り続ける.

彫刻を始めて 7 年くらい経って, ようやく作品がぽつりぽつりと売れるようになる. そのとき初めて, 自分の作品が売れるということは自分の作品と別れなければならないことだと気付いて, 驚きと寂しさとを感じたとのこと.

自分の名刺を作って彫刻家を名乗るようになったけれど, 独立してから未だに所得税を払ったことがありませんと言う.

偉いし立派だと思う. こういうことをやり抜くことの大変さってどれだけのものだろう. すごいなあ.

このかたは以前にも一度, このアトリエに見学に来たことがあり, 自分も挨拶をさせてもらっている. 残念ながら作品そのものは数枚の写真でしか見ていない. 人体の彫刻で複雑な曲線が使われたポーズをとっているので実際に見ないとどんなものなのかはわからないが, ダイナミックな感じだった.

どこでどんな風に決まったのかはわからないが, 今度はただ遊びに来るだけではなく, 皆で一緒に彫刻をやりましょうと言ってくれた.
もしそんなことが実現したら楽しいと思う. 自分もやったことはないが一緒にやりたい.

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いろいろ密度が濃い一日でくたくたになった.
帰宅してシャワーを浴びて倒れ込むように寝てしまった.

6 時半起床.
午前中は数学をやる.
午後からチラシ配りをするが途中から抑鬱感が強くなる. 理由は多分, 人通りが多かったことと工事現場の周りを何度も歩き回ったこと.
皆の通行の邪魔になったり工事現場をウロウロして邪魔をしたりして本当に自分は駄目だと思う. 冷静に考えると明らかに考えが歪んでいるのだが, 実際にこういう思考に嵌まってしまうとどうにも抜け出せない.
帰宅して寝込む.

6 時半起床.
今朝はやや鬱が辛い. 頓服を飲んだのだが, なかなか効き目が現れてこない. 10 時過ぎくらいにやっと普通になった.

午前中は数学の勉強をする. 任意に与えられた圏の骨格 (skeleton) を適切な方法で構築して, 骨格それ自体も圏になることを示せという問題を延々とやっている. 証明を何度も書き直していて時間がかかっているがきちんと解きたい.
以前より議論の細かいところに考えが向くようになったり, 証明内で使用する集合や写像の定義の整合性がとれていること (well-defined であること) をチェックし直したりしている.
証明自体もできるだけ圏論的な方法で書いているつもりだがどうなるか.

そんなこんなで何回も一から証明を書き直している.
これをきちんとやれば少しは前進できたと感じられるのではないか.

昼食はぶっかけ饂飩.

午後から買い物に出かける. 野菜と魚と肉の他, 豆腐の味噌汁が食べたかったので木綿豆腐も買う.
一旦帰宅して買ってきたものを冷蔵庫にしまったりした後, 散髪に出かける.
髪を切るのは昨年の暮れ以来なので, かなり鬱陶しく伸びてしまった. 短く切ってもらう.

床屋が混んでいたこともあるのか, 切ってもらっている途中から次第に抑鬱感が強くなってくる.
ちょっとまずい.
帰り道はあまり良くなくて, 背中を丸めて人と目が合わないようにしながら道路の隅っこを歩く.
鬱が苦しいときはこうなる.

頓服を飲んで少し休んでから夕食の支度をする. 食事が作れるようになったのは良かった.
豆腐とワカメの味噌汁, 豚こま肉の塩焼き, 野菜炒めと納豆とご飯.

今日は終日低調だった. ひとまず頓服で落ち着いたので多分ぐっすり眠れると思う.