ていへんかけるたかさわるに

数学をやる.
現在考えている問題は同値関係に関する極めて基本的な問題なのできちんと解きたい.
基本的だが, おそらく自分にとっては易しくはない.
$\mathscr{C}$ を圏とする. 射の集合 $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ 上の同値関係 $E$ が条件
(i) 射 $f, f' \in \mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ に対して $f E f'$ が成り立つならば $f$ と $f'$ は同じソースとターゲットを持つ;
(ii) 射 $f, f' \in \mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ に対して $f E f'$ が, $g, g' \in \mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ に対して $g E g'$ が成り立ち, かつ射の合成 $f \circ g$ が定義されるとき $(f \circ g) E (f' \circ g')$ が成り立つ.
を満足するとき, 関係 $E$ は圏 $\mathscr{C}$ 上における 射の合同 (arrow congruence) であると呼ぶ.

より一般に, 射だけでなく対象も同一視するような合同の概念が考えられる. そのような合同関係では, 上記の条件 (ii) に相当する性質を与える際に, ある射のターゲットと他の射のソースを矛盾無く同一視できるような新しい射の合成を考える必要があるため手順は非常に複雑になる.

射の合同 $E$ に対して次を証明せよ.
(a) $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ 上の任意の関係 $R \subset \mathrm{Ar}(\mathscr{C}) \times \mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ は $\mathscr{C}$ における射の合同を一意的に生成することを示せ.
(b) 圏 $\mathscr{C}$ における射の合同 $E$ が与えられたとき, 射の集合 $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ を $E$ で割ることにより 商圏 (quotient category) $\mathscr{C}/E$ が自然に定義され, しかも実際に圏になっていることを示せ.

商圏として, (a) で導いた $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ 上の任意の関係 $R$ によって生成される射の合同によるものを考える.
定義によりこの商圏上では $R$ が与える任意の射の関係 ($(f \circ g, f' \circ g) \in R$ や $(f \circ g, h) \in R$ に対応する図式:
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
\ar[r]^{g} \ar[d]_{g'} & \ar[d]^{f} & \ar[r]^{g} \ar[dr]_{h} & \ar[d]^{f} \\
\ar[r]_{f'} & ~ & ~ & ~
}
\end{equation*}
など) がすべて可換になるような最大の圏である.

問題 (a) の意味について少し考えた末, 2 通りの異なる解を与えることにした.

この項続く.

作業療法に行くので弁当を作る.
焼き鮭の海苔弁当. おかずはあとキャベツのスパイス炒め, ミニトマト, 目玉焼き, 浅漬け.

病院に着いてアトリエに入ったら結構にぎやかだった.
このところ休んでいたメンバーが再び顔を出していた.
またこの人たちの絵やフィギュアを見ることができるのが嬉しい.

それから学生さんが数人実習で来ていた.
騒がしくはないし, 全体はいつもの緩くてぬるい雰囲気のままなのでそれほど緊張はしない.

静かに絵を描く. あと少しで完成なのだが, 細かいところがうまくいかない.

行き帰りの電車の中では朝の続きで数学をやる.
病院が郊外にあるので行きも帰りも電車が空いていて座ることができるのが助かる.
いい具合に時間があるので問題を考えるには良い.