ていへんかけるたかさわるに

数学のノート,
数学: ばたばたする,
数学: 圏の骨格の構成
数学: 圏の骨格が圏になることの証明
の続き.
圏 $\mathscr{C}$ に対する骨格 $\mathrm{sk}(\mathscr{C}) = (A, O, d^0, d^1, u, m)$ がそれ自身圏になることの証明の最後の部分.
(iii) $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ における任意の射 $(f : X \to Y) \in A$ に対して,
\begin{equation*}
f \circ \mathrm{id}_{X} = f = \mathrm{id}_{Y} \circ f
\end{equation*}
が成り立つ. これは図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
A \ar[dr]_{\mathrm{id}_{A}} \ar[r]^{(\mathrm{id}_{A}, u \circ d^0)} & P \ar[d]_{m} & A \ar[dl]^{\mathrm{id}_{A}} \ar[l]_{(u \circ d^1, \mathrm{id}_{A})} \\
~ & A &
}
\end{equation*}
が可換になることと同値である.
(iv) 集まり $Q$ を
\begin{equation*}
Q = \{\, (f, g, h) \mid f, g, h \in A,\, d^{0}(f) = d^{1}(g),\, d^0(g) = d^1(h) \,\}
\end{equation*}
により定義する. $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ における任意の合成可能な射の 3 つ組 $(f, g, h) \in Q$ に対して, 射の合成は結合律
\begin{equation*}
f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h
\end{equation*}
が成り立つ. これは図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
Q \ar[d]_{m \times \mathrm{id}_{A}} \ar[r]^{\mathrm{id}_{A} \times m} & P \ar[d]^{m} \\
P \ar[r]_{m} & A
}
\end{equation*}
が可換になることと同値である.

以上により $\mathrm{sk}(\mathscr{C}) = (A, O, d^0, d^1, u, m)$ は, これが圏になるための条件 (i), (ii), (iii), (iv) を満足することを示すことができた.
したがって 圏 $\mathscr{C}$ の骨格 $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ はそれ自体圏になることがわかる.

(iv) において, $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ における射の合成 $m : P \to A$ が結合律を満たすことを示す部分, ノートの記述が長く複雑で整理に数時間かかった.
小さな計算を順番に積み重ねて結合律が成り立つことを証明しているのだが, 本当に子細なことまできちんと導いているし, 日が変わるとそれを理解できなくなっていたためなのか, 繰り返し同じ結果を導いたりしている. やり方も変えたりして.
読みづらい.
ただ, 見直した結果として, 重複する部分やくどい文章を修正し, 自分なりに見通しの良い記述にまとめることができたのは嬉しい.

とりあえず, 証明の全体を LaTeX のファイルとして書けた.
明日以降は, 証明を最初からしっかり読み直してみて, 間違いが無いかどうかを確かめる.

7 時半起床.

数学をやる. 今日中に LaTeX で証明を書き終えることができるかも知れない.
そう思って夕方まで集中してやって何とかできた.

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一人でこういうことをやっているのが一番安心する. 心が安らぐ.
部屋にひきこもって空想に耽っているのは幸福だと思う.

こういう安心できる場所にいるときも, ふとしたはずみに人とのコミュニケーションへの恐怖を感じてしまうことはある.
ひきこもりになって, 結果として社会との繋がりを失ってしまうことは恐ろしい. 認知療法を担当してくれている PSW さんから何度も言われた. 社会からの孤立は恐ろしい, と.

自分は, 食事をしている間に気分が低下していって鬱になって寝込んでしまうことがけっこうある.
食事を一人で作って一人で食べて一人で後片付けをする行為に, 何となく, 自分の生活は外の世界からまったく切り離されているんだという感覚を抱いてしまうからのようだ.
底の見えない暗いところに沈んでいくようでかなり気が滅入る.
苦しい.

現在の自分にとっての社会との繋がりとは...

デイケアや造形教室のアトリエで知り合った人たちとの交わりはある.
何人もの知人・友人から絶縁されたが, 数人の友人からはメールが来ることがある. 今何してる? とか.
意外だったが嬉しかった.
こういう繋がりの糸は大事にしたい.

ただ, 正直に言うとこれすら怯えている.
それから外に出るのも, 外を歩くのもとても怖い. 人の邪魔になっているのでは, 不愉快な思いをさせてしまうのでは, とか. そして過去の自分の失態で迷惑を掛けてしまった誰かと鉢合わせしてしまうのではないかとビクビクしていて緊張と怯えで身体が硬くなってしまうのだ.

焦ったり無理をしたりはしないようにしたいが, 2014 年の暮れに倒れて入院してから 2 年半経ってもまだこういう状態なのだ.
回復には相当の時間がかかるんだろう.
あまりにも弱過ぎるし脆過ぎるのではないだろうか.

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今日は, 夕食は先日スーパーで買ったタイのグリーンカレーのレトルトを温めてご飯の残りと一緒に食べる.
辛くて美味しかった.
しかし食べている途中に気分が急に低下し, 動けなくなって寝込んだ.