ていへんかけるたかさわるに

このところ取り組んでいた圏論の練習問題をどうにか解けたと思う.
自分なりの内容の見直しも終わったので, 解いた問題について概要をまとめておく.
以下の通り:

問題. $\mathscr{C}$ を任意の圏とし, $A \in {\mathrm{Ob}}({\mathscr{C}})$ を任意の対象とする.
($a$) 圏 $\mathscr{C}$ の $A$ 上の対象からなる圏 ${\mathscr{C}}\,\big/\,{A}$ おいて, 射 $h : f \rightarrow g$ が同型射であるための必要十分条件は, $h$ が $\mathscr{C}$ における同型射で $g \circ h = f$ を満たすことである. これを示せ.
($b$) $\mathscr{C}$ の対象 $A, B, C$ と射 $f : B \rightarrow A$ と $g : C \rightarrow A$ で $B$ と $C$ は $\mathscr{C}$ 内で同型だが, $f$ と $g$ が ${\mathscr{C}}\,\big/\,{A}$ 内で同型でない例を与えよ.

注: ${\mathscr{C}}\,\big/\,{A}$ を $\mathscr{C}$ の $A$ 上のスライス圏と呼ぶ. $f : B \rightarrow A$ と $g : C \rightarrow A$ を ${\mathscr{C}}\,\big/\,{A}$ の対象とするとき, $\mathscr{C}$ の射 $h : B \rightarrow C$ で図式
\[
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
B \ar[d]_{f} \ar[r]^{h} & C \ar[dl]^{g} \\
A &
}
\end{xy}
\]
を可換図式にするものをスライス圏 ${\mathscr{C}}\,\big/\,{A}$ における $f$ から $g$ への射 $h : f \rightarrow g$ と呼ぶ.

($a$) はスライス圏 ${\mathscr{C}}\,\big/\,{A}$ の射 $h : f \rightarrow g$ が同型射であるということと, 圏 $\mathscr{C}$ における 3 つの射 $f : B \rightarrow A$, $g : C \rightarrow A$, $h : B \rightarrow C$ の関係とを照らし合わせてみることによって解ける.

($b$) は以下のような例を作った.

(i) 集合の圏 $\mathbf{Set}$ を考える. $\mathbb{Z}$ を整数全体の集合とし,
\[
A = B = C = \mathbb{Z}
\]
とおく. 写像 $f : B \rightarrow A$ と $g : C \rightarrow A$ を
\[
\begin{alignat}{2}
f(n) &= 2n & \quad & (n \in B), \\
g(n) &= 2n + 1 & & (n \in C)
\end{alignat}
\]
により定義する.
このとき, $\mathscr{C}$ における任意の同型写像 $h : B \rightarrow C$ に対して $g \circ h \neq f$ となる.
したがって $f$ と $g$ はスライス圏 ${\mathscr{C}}\,\big/\,{A}$ において同型ではない.

(ii) 可換体 $k$ 上のベクトル空間の圏 $k$-$\mathbf{Vect}$ を考える.
$B \in \mathrm{Ob}(k$-$\mathbf{Vect})$ を $k$ 上の任意の有限次元ベクトル空間, $C$ を $B$ の双対ベクトル空間とする. すなわち

　C = $B^{*} = \{\, \varphi \mid \varphi : B \rightarrow k$ は線形写像 $\,\}$

ベクトル空間 $B$ と $C$ は互いに他の双対ベクトル空間となっているので $k$-$\mathbf{Vect}$ においてこれらは同型である.
$n = \dim(B) = \dim(C)$ とし $\{\, v_1,..., v_{n} \,\}$ を $B$ の基底, $\{\, v^{*}_1,..., v^{*}_{n} \,\}$ を $\{\, v_1,..., v_{n} \,\}$ に対する $C$ の双対基底とする.

$k$ 上の $2n$ 次元ベクトル空間 $A$ を任意にとり, $\{\, w_1,..., w_{2n} \,\}$ を $A$ の基底とする.
線形写像 $f : B \rightarrow A$ を $f(v_i) = w_i \; (i = 1,..., n)$ により定義し, 線形写像 $g : C \rightarrow A$ を $g(v^{*}_i) = w_{n+i} \; (i = 1,..., n)$ により定義すると, 任意の線形写像 $h : B \rightarrow C$ に対して常に $g \circ h \neq f$ となる. したがって $B$ と $C$ は $k$-$\mathbf{Vect}$ において同型だが, $f : B \rightarrow A$ と $g : C \rightarrow A$ はスライス圏 $k$-$\mathbf{Vect}\,\big/\,{A}$ において同型ではない.

(iii) 群の圏 $\mathbf{Grp}$ を考える.
集合 $B$ を
\[
B = \left\{\, \left(\cos\left(\frac{n}{3} \pi\right),
\sin\left(\frac{n}{3} \pi\right)\right) \,\Big|\,
n \in \mathbb{Z} \,\right\}
\]
と定義する.
各 $i \in \mathbb{Z}$ に対して
\[
a_{i} = \left(\cos\left(\frac{i}{3} \pi\right),
\sin\left(\frac{i}{3} \pi\right)\right)
\quad (i \in \mathbb{Z})
\]
とおき, $B$ 上の 2 項演算 $\cdot$ を
\[
a_{i} \cdot a_{j} = a_{i+j}
= \left(\cos\left(\frac{i+j}{3} \pi\right),
\sin\left(\frac{i+j}{3} \pi\right)\right)
\quad (i, j \in \mathbb{Z})
\]
により定義すると $B$ はこの 2 項演算を積, $a_{0} = (1, 0)$ を単位元として Abel 群になる.
混乱の恐れが無い場合には $\cdot$ を省略して
\[
a \cdot b = a b \quad (a, b \in B)
\]
と書く.

$B$ の定義より, 任意の $i \in \mathbb{Z}$ に対して $a_{i} = a_{i+6}$ が成立するので, 代表元をとることによって群 $B$ は
\[
B = \left\{\,a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\,\right\}
\]
と表わされる.

集合 $C$ を
\[
C = \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}
\]
により定義する. $C$ には整数環 $\mathbb{Z}$ から導かれる加法が定義される. この加法と単位元 $0 = 0 \bmod 6$ によって $C$ は Abel 群となる. $C$ の定義により, 代表元をとることによって群 $C$ は
\[
C = \left\{\, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \,\right\}
\]
と表わされる.

$B$ と $C$ は $\mathbf{Grp}$ において同型である. 同型射としてたとえば射 $h : B \rightarrow C$ を
\[
h(a_{i}) = i \quad (i = 0,..., 5)
\]
と定義すればよい.

集合 $A$ を
\[
A = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}
= \left\{\, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \,\right\}
\]
により定義する. $A$ には整数環 $\mathbb{Z}$ から導かれる加法が定義されるが, この加法と単位元 $0 = 0 \bmod 12$ によって $A$ は Abel 群になる. これより群の圏 $\mathbf{Grp}$ において, $A$ 上のスライス圏 ${\mathbf{Grp}}\,\big/\,{A}$ を考えることができる.

群の準同型写像 $f : B \rightarrow A$ を
\[
f(a_{i}) = 3 i \bmod 12 \quad (i = 0,..., 5)
\]
と定義する.
また, 群の準同型写像 $g : C \rightarrow A$ を
\[
g(i) = 4 i \bmod 3 \quad (i = 0,..., 5)
\]
と定義する.

このとき, 任意の群の同型写像 $h : B \rightarrow C$ に対して, 常に $g \circ h \neq f$ となる.
同型写像 $h$ の任意性により, $B$ と $C$ は圏 $\mathbf{Grp}$ においては同型だが, ライス圏 ${\mathbf{Grp}}\,\big/\,{A}$ においては $f$ と $g$ は同型ではない.

(iv) 位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ を考える.
$\mathbb{R}^2$ 内の半径 1 の単位円周
\[
B = S^1 = \left\{\, (x, y) \,\big|\,
(x, y) \in \mathbb{R}^2, \; x^2 + y^2 = 1 \,\right\}
\]
と, 半径 $\sqrt{2}$ の円周
\[
C = \left\{\, (x, y) \,\big|\,
(x, y) \in \mathbb{R}^2, \; x^2 + y^2 = 2 \,\right\}
\]
に $\mathbb{R}^2$ から導かれる位相を入れる. このとき, $B$ と $C$ は $\mathbf{Top}$ において同型である. 同型射となる同相写像として, たとえば $h : B \rightarrow C$ を
\[
h(x, y) = \left(\!\sqrt{2}\,x, \sqrt{2}\,y\right) \quad
((x, y) \in B)
\]
と定義すればよい.

$A = [-1, 1]$ とおき, $A$ に $\mathbb{R}^1$ から導かれる位相を入れることによって $A$ は $\mathbf{Top}$ の対象となる.
写像 $f : B \rightarrow A$ と $g : C \rightarrow A$ を
\begin{alignat*}{2}
f(x, y) &= x & \qquad & ((x, y) \in B), \\
g(x, y) &= \frac{1}{2} (x^2 - y^2) & ~ & ((x, y) \in C)
\end{alignat*}
と定義する. 定義より $f$, $g$ は共に連続写像, つまり $\mathbf{Top}$ における射である.

このとき, $h : B \rightarrow C$ で $g \circ h = f$ を満たす任意の連続写像に対して, $f$, $g$ の定義から $h$ が常に全射ではない連続写像であることが導かれる. よって $g \circ h = f$ を満たすような同型写像 $h : B \rightarrow C$ は存在しない.
以上より, 位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ において $B$ と $C$ は同型であるが, $g \circ h = f$ を満たす同型射 $h$ が存在しないことからスライス圏 ${\mathbf{Top}}\,\big/\,{A}$ においては $f$ と $g$ は同型ではない.