2019年04月29日

区間 [0, 1] に値が集中する関数

区間 [0, 1] に値が集中する関数


 今回は次のような形の関数を考えます。

区間 [0, 1] に値が集中する関数

 a = 1, b = 1/2 としてグラフを描いてみます。

 excel_func1.png

 この関数は x ≤ 0 で定義されませんが、x → +0 としたときに y は 1 に近づきます。原点付近から鋭く立ち上がってピークを作り、あとは x の増加に伴って急速に減衰していきます。

 パラメータ a または b を大きくすると、曲線はより鋭い形になります。b は固定したままで、a = 4, a = 8 とすると、次のようなグラフになります。

 excel_func2.png

 次は a = 8, b = 2 としてみます。

 excel_func3.png

 区間 [0, 1] に値が集中し、他の小さな極大値は(存在してはいますが)見えなくなっています。
posted by Blog Cat at 15:05 | Comment(0) | TrackBack(0) | 三角関数

2018年12月13日

[Excel] 圧縮される波

圧縮される波形


 今回は y = sin(xsinx) という関数のグラフを描いてみます。

 圧縮波形1.png

 原点から遠ざかるにつれて波が 圧縮 されています。
 sin の中身を xcosx に変えてみましょう。

 圧縮波形2.png

 これは原点対称の関数です。
 やはり原点から遠いところでは 波長が短く なります。

y = sin(xlogx2)

 次は y = sin(xlogx2) という関数です。

 圧縮波形3.png

 緩やかにではありますが、やはり原点から遠ざかるにしたがって波長は短くなっていきます。

伸張と圧縮

 最後は y = sin(xsin(logx2)) という関数です。

 圧縮伸張波形.png

 この関数で表される波は複雑な振る舞いをします。
 x = ±20 のあたりまでは波長が広がり、それより遠いところでは逆に波長が短くなっていきます。
posted by Blog Cat at 11:36 | Comment(0) | TrackBack(0) | 三角関数

2017年04月19日

ロピタルの定理(簡易版)で 0/0 型不定形の極限値を計算します

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ロピタルの定理(簡易版)

 -π < x < 0, 0 < x < π の範囲で次のような関数を定義します。

x=0で不連続な関数(飛川勝代)

 この関数のグラフを Excel で描くと次のようになります。

 @(expx-cosx)÷sinx.gif

 どこにも切れ目のないグラフに見えますね。しかし、もちろん x = 0 では定義されない(分母が 0 になる)関数です。しかし x → ±0 での極限は存在するようです。このような 0/0 型不定形の極限を求めるときに威力を発揮するのが ロピタルの定理(簡易版) です。

 [ロピタルの定理(簡易版)] f(x) と g(x) がある開区間で無限回微分可能で、a がこの区間に含まれているとします。そして

    ロピタルの公式条件(飛川勝代)

であるとき、

    ロピタルの定理(飛川勝代)

が成り立ちます。

 実を言うと、本物のロピタルの定理よりも強い仮定を用いています。本物のロピタルの定理は前提条件が大変面倒なので、とりあえず上の条件に当てはまる場合にだけ使うようにしてください。今回扱う関数は分子・分母ともに何度でも微分可能です。

ロピタルの定理を適用(飛川勝代)

とおくと、

ロピタルの公式条件チェック(飛川勝代)

ですから、ロピタルの定理が使えて、

ロピタルの公式で極限値を求める(豊年仙造)

となって、グラフに描かれている通りの極限値を得ることが出来ました。

cosx を乗じます

 上の関数に cosx をかけて、

x=0で不連続な関数(豊年仙造)

 x → ±0 で cosx → 1 ですから、先ほどの結果と合わせると、この関数も x → ±0 で極限値 1 をもちます。実際にグラフで確認してみましょう。

 A(expx-cosx)cosx÷sinxのエクセルグラフ.gif

 点 (0, 1) でつながっているようなグラフになっていますね。もちろん実際には x = 0 で不連続なのですが、この点だけ改めて y = 1 というように定めてやると、連続な関数となります。
 
posted by Blog Cat at 16:37 | Comment(0) | TrackBack(0) | 三角関数

2017年03月18日

cos(θ/2n) を次々と掛け合わせた関数のグラフ

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cos(θ/2n) を次々と掛け合わせた関数のグラフ


 次のような関数 fn(θ) を考えます。

cosの積(有墨みかげ)

 つまり cos(θ/2n) を次々と掛け合わせた関数です。
 しかし、このままでは Excel でも扱いにくいので変形しましょう。
 三角関数の公式

sin変形(倍井優介)

において、sin(θ/2) にもう1度公式を適用すると

sin変形(大田口純一郎)

 これを繰り返すと

エクセルsin変形(流合良太)

という式が得られるので、

エクセルfn(川股加菜)

という表式を得ることができます。 n = 1, 2, 3 とした fn(θ) のグラフを描いてみましょう。

 関数グラフ@sinθ÷θ.gif

 黒い点線は n → ∞ 、すなわち sinθ/θ のグラフです。
 n = 1, 2, 3 と大きくなるにつれて振幅が小さくなって黒い点線に近づいてゆく様子が見えますね。 n = 3 ではほとんど重なっています。
 
posted by Blog Cat at 23:04 | Comment(0) | TrackBack(0) | 三角関数

2017年03月16日

コセカントとセカントを足してグラフを描きます

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コセカントとセカントを足してみます


 今回は y = cscx + secx という関数をベースにします。
 csc, sec はコセカント、セカントの略で、

cscx = 1/sinx, secx = 1/cosx

によって定義されています。要するに sin と cos の逆数です。この2つの関数を加えると、とても興味深いグラフが描かれます。

 Excel余割+正割.gif

 x ≦ 0 と 0 ≦ x では全く異なる様子を見せますね。
 この関数は x = 0 を境に完全に分離していますが、cscx に x をかけて

y = x cscx + secx

としてみると ......

 xcscx+secx.gif

 原点で接続されます。でも secx に x をかけて

y = cscx + x secx

としてみると ......

cscx+xsecx.gif

 こちらは分離されてしまっています。csc を x で割って

y = cscx/x + secx

という関数を定義してグラフを描いてみると ......

 cscx÷x+secx.gif

 同じ形が左右に並びましたね。
 cscx と secx の組合せにはまだまだ色々な可能性がありそうです。
 
posted by Blog Cat at 06:28 | Comment(0) | TrackBack(0) | 三角関数
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