順列の計算法を知らなくても解けますが、ちょっと大変です。
問題27 整数と順列の問題 [高１★★☆☆☆]
abcd = a + b + c + d を満たす正の整数 (a, b, c, d) の組合せは何通りありますか？[ヒント] 整数問題ですが全ての組を求めよとは言っていません。まずある仮定のもとに 1 組の (a, b, c, d) を求めて、そのあと順列の計算に持ち込みます。
⇒ 問題 27 の解答はこちらです！
2016年07月10日
整数と順列の問題（abcd = a + b + c + d を満たす正整数は何通り？）
≫ [Amazon書籍] XVAモデルの理論と実務（CVA, DVA, FVA）
順列の計算法を知らなくても解けますが、ちょっと大変です。
[ヒント] 整数問題ですが全ての組を求めよとは言っていません。まずある仮定のもとに 1 組の (a, b, c, d) を求めて、そのあと順列の計算に持ち込みます。
⇒ 問題 27 の解答はこちらです！
順列の計算法を知らなくても解けますが、ちょっと大変です。
[ヒント] 整数問題ですが全ての組を求めよとは言っていません。まずある仮定のもとに 1 組の (a, b, c, d) を求めて、そのあと順列の計算に持ち込みます。
⇒ 問題 27 の解答はこちらです！
2016年07月08日
99^99 の 1 の位はいくつ？
≫ [Amazon書籍] 関数型プログラミングの基礎 JavaScript を使って学ぶ
前回に引き続いて合同式を使った問題です。
想像もできないような桁をもつ巨大数を扱いますよ。
9999 なんて、Excel を使っても正確に計算することはできません。
(2) 19921992 の 1 の位はいくつですか。
[ヒント] 法 (mod) の選び方がポイントです。
⇒ 問題 26 の解答はこちらです！
前回に引き続いて合同式を使った問題です。
想像もできないような桁をもつ巨大数を扱いますよ。
9999 なんて、Excel を使っても正確に計算することはできません。
問題26 9999 の 1 の位は？ [高１★★☆☆☆]
(1) 9999 の 1 の位はいくつですか。(2) 19921992 の 1 の位はいくつですか。
[ヒント] 法 (mod) の選び方がポイントです。
⇒ 問題 26 の解答はこちらです！
2016年07月07日
合同式で余りを求めます
≫ [Amazon書籍] Angular アプリケーションプログラミング
当ブログ初登場の合同式を用いる問題です。
現在のカリキュラムでは数学ⅠA で学ぶようですね。
合同式になじみのない人は、下のほうにある解説を読んでから問題に挑戦してください。
[ヒント] 筆算で商と余りを求めるとか、なしですよ。念のため。
ちゃんと合同式を使った解答を作ってください。
この一般的な書き方は分かりにくいので、もう少しくだけた表現で書き直すと、
...... やっぱり今ひとつ分かりにくいかもしれませんので、実際の数で確認してみます。
たとえば、
という数を選んでみましょう。それぞれ 8 で割ってみます。
となって余りが等しいことがわかります。なので 21 と 13 は 8 を法として合同で、
と書きます。ところが a, b を 7 で割ると、
となって、21 と 13 は 7 を法とした場合には合同ではありません。
証明は易しいので省略します。気になる人は教科書やネットで確認しておいてください。
ここでは具体的な数を使って上の定理が成り立っているかを確認しておきます。
8 ≡ 5, 7 ≡ 4 (mod 3) を使って確かめてみましょう。
a1 = 8, a2 = 5, b1 = 7, b2 = 4 です。
(1) a1 + b1 = 15, a2 + b2 = 9 ですから、
加算について確かに成り立っています。 a1 － b1 = 1, a2 － b2 = 1 ですから、
減算についても成り立っています。
(2) a1 b1 = 56, a2 b2 = 20 です。
乗算も成り立っています。実際に割り算をしなくても、左辺 － 右辺 = 36 が 3 で割り切れることがすぐにわかります。
(3) とりあえず n = 2 だけ確認しておきましょう。 a12 = 64, a22 = 25
べき乗についても成り立っていますね（左辺 － 右辺 = 39）。
⇒ 問題 25 の解答はこちらです！
当ブログ初登場の合同式を用いる問題です。
現在のカリキュラムでは数学ⅠA で学ぶようですね。
合同式になじみのない人は、下のほうにある解説を読んでから問題に挑戦してください。
問題25 合同式で余りを求めます [高１★★☆☆☆]
自然数 n = 2951413 を 9 で割ったときの余りを求めてください。[ヒント] 筆算で商と余りを求めるとか、なしですよ。念のため。
ちゃんと合同式を使った解答を作ってください。
合同の定義
整数 a, b に対して、a － b が m で割り切れるとき、
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
この一般的な書き方は分かりにくいので、もう少しくだけた表現で書き直すと、
整数 a, b を m で割ったときの余りが等しいとき、
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
...... やっぱり今ひとつ分かりにくいかもしれませんので、実際の数で確認してみます。
たとえば、
a = 21, b = 13
という数を選んでみましょう。それぞれ 8 で割ってみます。
a/8 = 21/8 = 2 余り 5
b/8 = 13/8 = 1 余り 5
b/8 = 13/8 = 1 余り 5
となって余りが等しいことがわかります。なので 21 と 13 は 8 を法として合同で、
21 ≡ 13 (mod 8)
と書きます。ところが a, b を 7 で割ると、
a/7 = 21/7 = 3 余り 0
b/7 = 13/7 = 1 余り 6
b/7 = 13/7 = 1 余り 6
となって、21 と 13 は 7 を法とした場合には合同ではありません。
合同式の加算・減算・乗算・べき乗
a1 ≡ a2, b1 ≡ b2 (mod m) のとき、
(1) a1 + b1 ≡ a2 + b2, a1 － b1 ≡ a2 － b2
(2) a1 b1 ≡ a2 b2 (3) a1n ≡ b1n
(1) a1 + b1 ≡ a2 + b2, a1 － b1 ≡ a2 － b2
(2) a1 b1 ≡ a2 b2 (3) a1n ≡ b1n
証明は易しいので省略します。気になる人は教科書やネットで確認しておいてください。
ここでは具体的な数を使って上の定理が成り立っているかを確認しておきます。
8 ≡ 5, 7 ≡ 4 (mod 3) を使って確かめてみましょう。
a1 = 8, a2 = 5, b1 = 7, b2 = 4 です。
(1) a1 + b1 = 15, a2 + b2 = 9 ですから、
15 ≡ 9 (mod 3)
加算について確かに成り立っています。 a1 － b1 = 1, a2 － b2 = 1 ですから、
1 ≡ 1 (mod 3)
減算についても成り立っています。
(2) a1 b1 = 56, a2 b2 = 20 です。
56 ≡ 20 (mod 3)
乗算も成り立っています。実際に割り算をしなくても、左辺 － 右辺 = 36 が 3 で割り切れることがすぐにわかります。
(3) とりあえず n = 2 だけ確認しておきましょう。 a12 = 64, a22 = 25
64 ≡ 25 (mod 3)
べき乗についても成り立っていますね（左辺 － 右辺 = 39）。
⇒ 問題 25 の解答はこちらです！
2016年07月05日
虚数解が複素数平面に描く軌跡
≫ [Amazon] Real World HTTP（歴史とコードに学ぶインターネットとウェブの技術）
以前に実数解の動きを調べましたけど、今回はその虚数解バージョンです。複素数平面の基本さえ知っていれば易しい問題ですが、ちょっと面白い結果が得られますよ。
[ヒント] 2 つの解は k を媒介変数として複素平面上で軌跡を描きます。
⇒ 問題 24 の解答はこちらです！
以前に実数解の動きを調べましたけど、今回はその虚数解バージョンです。複素数平面の基本さえ知っていれば易しい問題ですが、ちょっと面白い結果が得られますよ。
問題24 虚数解が複素数平面に描く軌跡 [高３★★☆☆☆]
x2 － 2 kx + 1 = 0 の 解の軌跡を複素数平面に描いてください。ただし －1 ≦ k ≦ 1 とします。[ヒント] 2 つの解は k を媒介変数として複素平面上で軌跡を描きます。
⇒ 問題 24 の解答はこちらです！
2016年07月01日
ベータ関数を用いた積分（Excelグラフによる解説付）
≫ [Amazon書籍] SRE サイトリライアビリティエンジニアリング
このブログでは初登場となるベータ関数です。
計算にはガンマ関数の性質を使いますが、Γ(n + 1) = n! だけ知っていれば解けます。ガンマ関数に関する詳しい解説はこちらを参照してください。
=\int_{0}^{1}t^{x-1}\:&space;(1-t)^{y-1}\:&space;dt "ベータ関数")
また、ベータ関数はガンマ関数と次のような関係で結びついています：
=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)})
(1) m, n を 0 以上の整数として
=\int_{0}^{1}t^{m}\:&space;(1-t)^{n}\:&space;dt "ベータ積分I(m,n)")
を求めてください。
(2) m, n を 0 以上の整数として
=\int_{-1}^{1}(1+x)^{m}\:&space;(1-x)^{n}\:&space;dx "ベータ積分J(m,n)")
を求めてください。
(3) (2) の結果を用いて、 J(2, 1), J(2, 2) および J(2, 3) を計算してください。
[ヒント] (2) は上手く変数変換できるかどうかです。
解答では久しぶりに Excel のグラフを使ってこの積分の意味を解説する予定です。
⇒ 問題 23 の解答はこちらです！
このブログでは初登場となるベータ関数です。
計算にはガンマ関数の性質を使いますが、Γ(n + 1) = n! だけ知っていれば解けます。ガンマ関数に関する詳しい解説はこちらを参照してください。
問題23 ベータ関数を用いた積分 [高３★★☆☆☆]
ベータ関数は次のように定義される関数です：また、ベータ関数はガンマ関数と次のような関係で結びついています：
(1) m, n を 0 以上の整数として
を求めてください。
(2) m, n を 0 以上の整数として
を求めてください。
(3) (2) の結果を用いて、 J(2, 1), J(2, 2) および J(2, 3) を計算してください。
[ヒント] (2) は上手く変数変換できるかどうかです。
解答では久しぶりに Excel のグラフを使ってこの積分の意味を解説する予定です。
⇒ 問題 23 の解答はこちらです！
