2017年06月16日

ハートの絵札とジョーカー(統計的に独立?)

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 たとえば 2 個のサイコロを投げて両方とも 1 が出る確率は

1/6 × 1/6 = 1/36

と計算できます。一方のサイコロが他方に何も影響を及ぼさないので、それぞれのサイコロが 1 の目を出す確率を単純に掛け合わせればよいのです(乗法定理)。このように事象 A の結果にかかわらず、事象 B の確率が変わらないという状態を「統計的に独立である」といいます。しかし、もう少し複雑な状況になると、互いに影響を及ぼすのかどうかということを判断するのが難しい場合もあります。

問題81 ハートの絵札とジョーカー [高3★★☆☆☆]

 1 組のトランプから 1 枚のカードを取り出す状況を考えます。引いたカードが「ハートである」という事象と「絵札である」という事象が互いに統計的に独立であるかどうか、次の 2 つのケースで考察してください。
(1) ジョーカーを除いた 52 枚のカードから 1 枚を引きます。
(2) ジョーカーを含めた 53 枚のカードから 1 枚を引きます。

[ヒント] 何はともあれ確率を計算してみましょう。

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 ⇒ 問題 81 の解答はこちらです!

2017年06月14日

田中君と鈴木君が選ばれて、小林君が委員に選ばれない場合の数は?

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問題80 小林君が委員に選ばれない場合の数 [高1 ★★☆☆☆]

 30 人のクラスで 4 人の委員を選ぶことになりました。田中君と鈴木君が選ばれて、小林君が選ばれないような組合せは何通りありますか?

[ヒント] なんだかとても複雑なことを問われているように思えますが、実はそうでもありません。確率分野の「組合せ」の問題ですが、特に習っていなくても解けると思います。中学生の皆さんも挑戦してみてください。解答では組合せ記号を使わずに丁寧に説明します。
 ⇒ 問題 80 の解答はこちらです!

2017年06月11日

級数が整数でないことを証明します

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問題79 級数が整数でないことの証明 [高1 ★★★☆☆]

 n > 1 のとき、次の級数が整数でないことを示してください。

整数でないことの証明

[ヒント] どう見たって整数ではなさそうですけど、いざ示せと言われるとけっこう戸惑ってしまいますよね。適当に n を決めて、あれこれ数式をいじってみると、何かが見えてくるかもしれません。

[参考] 素数入門(芹沢正三/講談社)
素数入門⇒ 問題 79 の解答はこちらです!

2017年06月06日

大域的周期性をもつ数列(再帰的関係式:ライネス写像)

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問題 78 [難易度:高校2年 ★★☆☆☆]

 次のような漸化式で定義される数列を考えます。

再帰的関係式(ライネス写像)

 この数列が周期 5 で循環するための条件を求めてください。

[ヒント] 数列が(いくつかの例外を除いて)初期値によらず一定周期で循環することを「大域的周期性をもつ」といいます。上の数列はほとんどのケースで周期 5 をもつのですが、いくつか例外があるので、それを見つけてくださいという問題です。

[参考] 『ひとけたの数に魅せられて』(チャンバーランド/岩波書店)
(数学)ひとけたの数に魅せられて⇒ 問題 78 の解答はこちらです!

2017年06月05日

バクテリアが 20 分後に 2 個になっている確率は?

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問題77 バクテリアが 2 個になっている確率 [高1★★☆☆☆]

 1 個のバクテリアが 10 分後に 2 個に増えている確率、1 個のままでいる確率、死んでしまう確率がそれぞれ 1/3 であるとします。バクテリアが 20 分後に 2 個になっている確率を求めてください。

[ヒント] 時間の経過を丁寧に追いましょう。
 ⇒ 問題 77 の解答はこちらです!
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