2017年08月09日

正の角度、負の角度(反時計回りと時計回り)

 Kobato です!
 ここ最近は Blog Cat さんに代わって記事を執筆しています。
 こばとは今週末から小夜子さんと山梨の別荘へ行く予定です!
 富士山の麓で夏を満喫してきますよー。
 小夜子さんは、こばとに来ないでほしいと言ってました。
 相変わらず、とってもイジワルです。
 でも、いいんです。そのうち小夜子さんだって心を入れ替えて「こばとちゃん、今までこんなにかわいいこばとちゃんを邪険にするなんてどうかしていたわ」と謝る日がくると信じています。え? 来るなと言われたことに何か心当たりがないのかって? えーとね、去年花火で別荘を火事にしかけたとか言ってたけど、あの時はハイになってたので、あんまり記憶ないです。前置きが長くなりましたけど、数学基礎講座を始めましょー。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編B 正の角度、負の角度

 角度を測るときは x 軸を基準に反時計回りを正方向としていました。でも場合によっては角度を負の数値で表したほうが便利なこともあります。つまり x 軸から時計回りに測るのです。それでは、さっそく例をみてみましょう。

 @正負の角度1.gif

 上の図にあるように、OP が x 軸となす角度を時計回りに測ったときの角度(つまり負の角度)がπ/6 であったとします(度数法では30°)。つまり−π/6 です。もちろん、この角度を正の値で表すこともできますけど、ちょっと大変です。正方向(反時計回り)にぐるーりと回して測りますけど、その値は 2πからπ/6 を引いた値になっているはずですね。つまり

2ππ/6 = 11π/6

となっています。もう少し練習してみましょう。

 A正負の角度2.gif

 今度は負の方向にπ/3 、つまり−π/3 という角度です。これを正の方向で測ると

2ππ/3 = 5π/3

となります。次の練習問題にいきましょー。

 B正負の角度.gif

 −π/4 という角度を正方向で測ると

2ππ/4 = 7π/4

となります。最後の練習問題です。

 C正負の角度.gif

 負の方向に直角、つまり−π/2 です。正方向で測ると

2ππ/2 = 3π/2

となりますねー。慣れると簡単ねー。本格的に三角関数を学ぶ前に、できれば頭の中で単位円と角度を描けるように訓練しておいてくださいなー。それではまた次回お会いしましょー。

 ≫ 一般角の定義
 

2017年08月06日

度数法と弧度法を互いに変換してみましょう

 Kobato です! 世界陸上ロンドン大会が始まりましたねー。
 ボルト選手の引退レースがあんなふうに終わってしまったのは、ちょっと残念でしたねー。こばと、応援してたのになー。まあ、それはともかく今日も元気に数学しましょー。あ、そうそう、もしかすると Google Chrome をお使いの皆さんは、円周率πの表示が明朝体になっていないかもしれないかもしれません(IE なら大丈夫です)。今、Blog Cat さんが対策を検討中なのでしばらくお待ちくださいな。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編A 度数法と弧度法を互いに変換します


 前回は 弧度法 について学びました。でも今まで親しんできた度数法から弧度法に切り替えるのは、慣れるまで少し時間がかかります。そこで今回はいくつか例で、度数法と弧度法をお互いに変換する練習をしましょう。

よく使う角度の変換を覚えましょう

 前回の復習ですけど、下図において弧 PQ の長さをθと定めていますよ。

 弧度法の角度定義.gif


 もちろん変換公式もあるけど、まずは簡単な例で感覚的に変換してみましょー。アップルパイを切り分ける感じでね。パイでπを学ぶのです ...... ただの駄洒落ですよ。そんなにドン引きしないでくださいな。度数法は青、弧度法は赤色の文字で表示しますよ。まずは点 P をぐるりと1周させて円を描くと ......

 弧度法度数法360.gif

 これは簡単ねー。度数法では 360°、弧度法では 2π ですね。
 これを次々に半分にしていきましょー。

 弧度法度数法90.gif

 度数法では 180°, 90°, 45°となって、弧度法では π, π/2 , π/4 となります。それでは再び切り分ける前に戻しますよ。

 弧度法度数法360.gif

 今度は 6 等分、12 等分にしてみましょー。

 弧度法度数法30.gif

 度数法では 60°, 30°となって、弧度法ではπ/3 , π/6 となるのです。大体このへんまでがよく使う角度なので、図を何度か見て計算しないでもぱぱっと出てくるようにしてくださいな。

度数法と弧度法を計算で変換しましょう

 でも 17°とか 55°というような中途半端な角度の場合は、さすがに計算しないと変換できません。でも

πラジアン = 180°  [1]

てことだけ覚えていれば、いつでもお互いを変換することができますす。[1] の両辺をπで割れば 1 ラジアンが何度なのかわかります。

1 ラジアン = 180°/π (≒ 57.296°)  [2]

 逆に [1] の両辺を 180°で割れば

π/180 ラジアン = 1°  [3]

となります。それでは「度数法 ⇔ 弧度法」の変換を練習してみましょう。たとえば 「 2.5 ラジアンは何度かなあ」と思ったときは [2] を使って

2.5 × 180°/π= 450°/3.14 = 143.31°

というように計算することができます。「 41°は何ラジアンかなあ」と思ったときは

41π/180 = 41 × 3.14/180 = 0.72 ラジアン

と計算できますよ。関数電卓や Excel があれば、計算式を知らなくても簡単に「度数法 ⇔ 弧度法」の変換ができるけど、何回かは自分で練習したほうが感覚をつかみやすいですよ。それでは、今回はこのへんでー。次回は「負の角度」について学びますよー。

 ≫ 角度の符号
  

2017年08月04日

弧度法で角度を表します

 Kobato です! お久しぶりです!
 約 1 年半ぶりに「こばとの数学基礎講座」が帰ってきましたよー!
 このブログを運営している Blog Cat さんが何だか貧血気味らしいので、こばとが登場することになりました。さて、新装開店第1弾のシリーズは 三角関数とベクトル について学びます。

 え? どうして全然違う分野を一緒くたにするのかって?
 それは講義が進んでからのお楽しみです。それでは始めましょー。
 今回の記事では 弧度法 について学びますよ。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編@ 弧度法について学びます

 弧度法 とは角度の表し方のことです。中学校から高校1年生ぐらいまでは角度を 90°とか 60°というように表していたと思いますけど、これは 度数法 と呼ばれる表記法です。円の中心角を 360 等分したものを 1°としたので「度数法」とよぶのです。それに対して 弧度法 というのは、角度を弧の長さで測る表記法です。とりあえず度数法のことは全部忘れて、角度を弧度法で捉える練習をしてみましょう。

 まず下の図のように、ぐるりと半径 1 の円(単位円)を描きます。
 そして円周上の好きなところに点 P をとりますよ。

 弧度法の角度定義.gif

 このとき、P と原点 O を結ぶ線分(青い線)が x 軸となす角度θを 弧 PQ の長さで測るのです。P の動いた軌跡を取り出して、感覚的に角度を掴んでみましょう。まずは P をぐるりと 1 周させてみましょー。

 弧度法2π.gif

 半径 1 の円の周の長さは 2πなので、これがそのまま円の中心角となります。これを「角度は 2πである」と表現します。あえて弧度法であることを強調したいときには角度は 2πラジアンである」と言います(ラジアンについてはまた後ほど説明します)。今度は P を半周だけ動かしてみます。

 弧度法π.gif

 2πの半分の角度だから、半円の角度はπと表せます。さらにまた半分にしてみましょー。

 弧度法π÷2.gif

 半円の角度πを 2 で割って、この扇形の中心角はπ/2 と表せますね。

ラジアン[rad]

 弧度法で測ったことを表すためにラジアンと言うこともありますが、正確に言うと、これは単位ではありません。弧度法は弧の長さで測っているので無次元の量(単位のない量)なのです。そもそも単位というのは、物理や工学などの科学で用いられる概念です。

 数学では単位というものを使わずに、全ての量を自然数 1 と虚数単位 i で表したいのです(つまり自然数 1 と虚数単位 i だけが数学で使用される単位といえるかもしれません)。だから中学までに使用されてきた度数法というのは、現実世界で分度器を使って角度を測ったりするには便利ですけど、1°が自然数 1 とは異なる量だというのは、数学的にはちょっとまずいわけです(要するに美しくないのです)。

 さて、以上の説明を踏まえると、1 ラジアンとは自然数 1 に等しいはずです。
 そのために弧度法を導入したわけですからね。違っていたら大変です。
 つまり単位円の半径 1 と等しい長さです。これを円周との比率で考えてみると、半径 1 の円の周長は 2π ≒ 6.28 ですから、1 ラジアンは円周の 1/6 より少しだけ大きい値になっています。図にするとこんな感じです。

 弧度法1ラジアン.gif

 線分 OQ と弧 PQ が等しく 1 になるようにとった角度が 1 ラジアンというわけです。1 ラジアンという言葉を聞いたときに、このイメージがぱっと頭に浮かぶようにしておいてくださいなー。数学は厳密な論証より先にイメージを掴んでおくことが大切ねー。それでは今回はこのへんでー。 ≫ A度数法と弧度法の変換
 

2016年01月21日

約率と密率で地球の赤道円周の長さを計算します

 お久しぶりですよー。
 ちょっと時間があいてしまったけれど、こばとが 2 問目を出題しますよー。

こばとの数学問題02 約率と密率で地球の大きさを計算しましょう

  円周率πの最も有名な近似値は皆さんが学校で習う

π ≒ 3.14

ですね。実はその他にも分数を使った

π ≒ 22/7(約率), π ≒ 355/113(密率)

という近似値が知られています。そこで今回はこの3つの近似値を用いて地球の赤道円周の長さを求めて誤差を調べてみることにします。小数点以下 9 桁の精度(3.141592654)のπで計算した赤道円周の長さは

L = 40074km

です。π を 3.14, 22/7, 355/113 として計算した円周の長さをそれぞれ L1, L2, L3 として、L との差の絶対値

|L − L1|, |L − L2|, |L − L3|

を計算して誤差を確認してください。地球は赤道半径は 6378 km です。小数点以下は四捨五入して計算してください。

[ヒント] 計算が大変だと思ったら電卓を使ってくださいな。
 ⇒ 解答はこちらですよ〜

2016年01月20日

フラクタル次元を求めてみましょう

 それでは記念すべき「こばと数学問題集」の第 1 回目です!
 Blog Cat さんの出すしょーもない問題とは全然ちがって、もっとフレッシュでエキサイティングでワンダフルな問題(意味不明)ばかりを厳選する予定ですよー!

 初回の題材はフラクタル(Fractal)です!
 ...... と言われても、「フラクタル? なんじゃらほい?」と訊き返してしまう人も多いと思います。「フラクタルとはつまりね ...... 」と一生懸命言葉で説明しても余計に「???」となってしまうかもしれないので(言葉にし難い分野なんですよ、ほんとに)、さっそく問題を通してフラクタルを体感してみましょう!

 でも、その前に準備体操です。次元というものについて再定義してみたいと思います。
 数学大好きな皆さんが普段何気なく使っている 2 次元座標とか、 3 次元座標とかの、あの「次元」のことですよ。ここを読み飛ばすと問題が解けませんので、ちゃんと読んでおいてくださいなー。

 次のような線分を考えてみます。

 フラクタル次元線分.gif

 図ではちょうど真ん中で 2 つに分けています。線分全体は半分の長さの線分 2 つで出来ていますね(当たり前です)。次は正方形です。

 フラクタル次元正方形.gif

 各辺を 2 等分すると、小さな 4 つの正方形ができます。最後に立方体。

 フラクタル次元立方体.gif

 各辺を 2 等分すると、小さな 8 個の立方体ができあがります。

 さて、ここで次元を次のように考えます。 1 辺を半分にしたとき ......

  線分は小さな線分 21 個で構成されているので 1 次元。
  正方形は小さな正方形 22 個で構成されているので 2 次元。
  立方体は小さな立方体 23 個で構成されているので 3 次元。

 このように定義された次元のことをフラクタル次元(厳密には相似性次元)と呼びます。私たちが知っている次元とそれほど違いはなさそうですね。それでは問題です。

こばとの数学問題 01 フラクタル次元を求めましょう

 下図のように黒く塗られた三角形を用意し、各辺を 2 等分する点を結んで小さな三角形を作ってくり抜きます。そして残った 3 つの黒い三角形から同じように三角形をくり抜きます。

 シェルピンスキーのギャスケットの作り方.gif

 これを繰り返すと次のような図形が出来上がります。

 シェルピンスキーのギャスケット.gif

 これをシェルピンスキーのギャスケットと呼びます。
 この図形のフラクタル次元を求めてください(必要なら電卓を使ってください)。
 ⇒ 解答はこっちねー
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