2017年11月23日

三角関数の加法定理を導きます

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こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編 [13] 加法定理を導きましょう

 以前の記事で単位円を用いて sin30°や cos45°のような値を計算しましたけど、求められる値が限られすぎていて、なんだか心もとないですね。そこでもう少し計算範囲を拡大するために 加法定理 という公式を導くことにします。これを使うと sin15°とか、tan75°のような値を求めることができるようになります。内積を使うと簡単に加法定理が導き出されてしまいますよ。まずは下の図をご覧くださいな。

 Excel加法定理説明図.png

 同じ大きさで、x 軸からの角度α, βをなす2つのベクトル

大きさ r のベクトル

の内積を成分表示の公式でつくってみると ......

ベクトルの内積

 一方で、この2つのベクトルのなす角は α−β ですから、

ベクトルの内積

と書くこともできるわけです。両式は当然等しいはずですから、

cos加法定理1

となって加法定理が1つできあがりです! 残りの加法定理はこの式から導くことができますよ。まず上の式で −β → β とおくと、cos(−β) = cosβ, sin(−β) = −sinβ より、

cos加法定理2

という2つめの加法定理が得られます。次に (1) 式から

cos加法定理1

という式が得られます。θ = α + β とすると左辺は

sin加法定理導出

となるので、

sin加法定理@

という公式が得られます。この式で −β → β とおくと

sin加法定理A

となります。また (2) と (3) から

tan加法定理導出

 両辺を cosαsinβ で割ると

tan加法定理

が得られます。それでは三角関数の加法定理をまとめておきましょ〜。


 これで今までより色々な三角関数の値が計算できるのね〜。
 最後にひとつだけ試してみましょ〜。sin75°の値を求めますよ。

sin75

 ちゃんと計算できましたね〜。
 皆さんも色々な値で試してみてくださいな〜。
 それではまた次回お会いしましょ〜。
 

2017年11月01日

2 つのベクトルが直角ならば内積は 0 です(その逆も然りだよ)

 はーい! ちゅうもーく!
 え? そのネタは前にもやった? そうだっけ?
 あ、そうそう、金八先生ごっこなんてやってる場合じゃないんですよ〜(←じゃあ、やるな)。実は こんなこと があってね〜。そして、ついに今晩、仕事を終えたあとに『あとりえこばと』の地下保管室にある金庫を開けて、指輪を持って行くことを決意したのです。飛んでる最中に落としたりしたら大変ね〜。しかもこのタイミングで、今度の土曜日には姉が東京に来るんですよね。それがどうも心配なのね〜。ま、いいや。とにかく講義を始めましょ〜。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編K 2 つのベクトルが直角ならば内積は 0 です

 前回に引き続いて内積のお話です。内積は

ベクトル内積

というように定義されていましたね。ここで θ を 0 にすると、内積も 0 になってしまいます。

 @直角のときはベクトルの内積は0.gif

 この性質は数学の色々なところで使われているし、大学入試問題でも頻出するので、受験生は「直角」と言われたら「内積 0 !」と条件反射で叫んでしまうぐらいになじんでおかないとダメですよ。まあ、本当に叫んだら、ただの変な人だけどね。さて、内積を成分表示すると

内積成分表示

と表されることをすでに学んでいます。そこでどう考えても明らかに直角なベクトル

直角単位ベクトル

について公式を確認してみますよ。

 A直角のときはベクトルの内積が0.gif

 ちなみに、このように長さ 1 のベクトルのことを単位ベクトルとよびます。内積をとってみましょ〜。

単位ベクトルの内積

 確かに 0 になりましたねー!
 この 2 つのベクトルは紛れもなく直角です!
 え? そんなことわかりきってる? あ、そう。
 それでは今度は逆に、あるベクトル

任意のベクトル

が与えられたとして、これと大きさが同じで直角なベクトル直角ベクトルを考えてみましょう。内積の式に入れてみると、

直角ベクトル内積成分表示

となります。右辺を 0 にすればいいのですから、

ベクトルaと直交するベクトルの成分@

としてやればいいのです。でも、

ベクトルaと直交するベクトルの成分A

としても、やっぱり内積は 0 になりますね〜。このベクトルをあらためて直角ベクトルとしておきましょ〜。

 B直角なベクトルは2つ.gif

 図を見れば、適当な平面ベクトルと同じ大きさで直交するベクトルは 2 本あることは一目瞭然です。その 2 本は互いに逆向きになっています。つまり、これらの内積は −|a|2 になっているはずです。確かめてみましょ〜。

反対方向のベクトルの内積

 ちゃんと −|a|2 になっていますね。まあともかく、こんなふうに、ベクトルの内積は角度の情報を与えてくれるので、なにかと便利なのです。みなさんもどんどん内積をとってくださいな〜。それではまた次回お会いしましょ〜。

 ≫ 次回は加法定理を導きますよ♪
 

2017年10月18日

余弦定理とベクトルの内積

 はーい! ちゅうもーく!
 今日は内積について話します。いいですか、皆さん。
 ベクトルの内積、これはとても大切なことです。
 今は何のためにこんなことを学ぶのかと思うかもしれません。しかし将来、もし君たちが計算の途中で道に迷ったら、どうか内積のことを振り返ってください ...... このネタ、若い人は知らないよね。いちおう言っておくと、金八先生ね〜。

 昭和の頃、こばとも毎週欠かさず熱心に見てたんだけど、今思い返すと、かなりぶっとんだ話ねー。皆さんも機会があれば DVD を買って観てねー。ついでに Amazon の宣伝しておこうっと。

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こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編J 余弦定理とベクトルの内積


 というわけで本日は ベクトルの内積 のお話ですよ〜。
 まずは下の図を見てくださいな〜。

 Excelベクトルの内積.gif

 O を始点に A と B まで引いたベクトルをそれぞれ

ベクトルab

としましょう。A から B に引いたベクトルは

ベクトルc

となります。B から OA に垂線を下ろして交点を P とします。ここで AB の長さを OA と OB で表すことを考えます。三平方の定理を使うと

三平方定理

となります。ここでベクトルと三角関数を用いると


と表すことができるので

ABの長さ@

 ここで三角関数に関する基本公式

三角関数の公式

を用いると

ABの長さA

となります。これを 余弦定理 とよびます。そして右辺に現れた

ベクトルの内積の定義

ベクトルの内積 と定義して

ベクトルの内積

という記号で表すことにします。すると余弦定理は

ベクトルの内積を用いた余弦定理の表式

と書くことができます。今度は、この余弦定理をベクトル成分で表してみます。

ベクトルc

なので、三平方の定理を用いると、ベクトルの大きさの平方はそれぞれ

ベクトルの大きさの平方

となります。これを余弦定理に入れて整理すると

内積の成分表示

と成分で表すことができました。


ベクトルの内積の意味


 あらためて定義式をじっくり見てみると、内積は図のようにベクトル ベクトルb の OA への射影の長さと、ベクトル ベクトルa の長さを掛け合わせたものとなっていますね〜。

 内積の定義.gif

 そこで直交座標の x 軸に沿って ベクトルaA を作り、それと同じ長さで向きだけ異なる色々なベクトルとの内積をとってみましょ〜。

 似ているベクトル.gif

 内積の値は cosθ によっているので、たとえば第 1 象限では θ が大きくなるほど内積は小さくなります。つまり ベクトルaB と近い方向を向いているベクトルとの内積は値が大きくなります。方向が直角 (π/2) に近くなるにつれて、その値はどんどん小さくなります(直角では 0 です)。そして θ が π/2 を超えると値が負になってしまいます。

 つまり内積とは「お互いが同じような方向を向いているかどうか」、「似ているかどうか」という目安になるのです。このイメージはとても大切で、実は関数もまた無限の成分をもつベクトルと考えることができて、異なる関数同士の内積をとってみると「お互いが似ているかどうか」ということを調べることができるのです。

 これを人間関係でたとえると、趣味や価値観が似ている者同士は仲良くなって話も盛り上がるけど〜、正反対の考え方をする(負の内積をもつ)人同士だと、もう一生分かりあえないってかんじね〜。え? 変なたとえ? そうですかね? 次回は内積と直角についてお話しましょ〜。またね〜。

  ≫ 2 つのベクトルが直角ならば内積は 0 ですよ〜
 

2017年10月06日

ベクトルの大きさを計算しましょう

 なんか、あれねー。景気は上向いてるって耳にはするけどねー。
 こばと、小さな出版社を経営してるんだけど、どうも実感ないのねー。それどころか、人手不足の影響だけは、もろに受けて、アルバイトの求人さえままならない状況なのねー。なんかもっと、どかんと売れるベストセラーを出版して、○学館とか、△談社みたいに大きな出版社になりたいのねー。『こばとちゃんの Excel 体操』なんてどうかな? え? そんなの売れるわけない? そうですかねー。あ、それからねー、お世話になっている印刷会社の逆井さん、来年ついに定年を迎えるそうです。ついこの前知り合ったような気がするのに、時が経つのは早いものですねー。え? いい加減おしゃべりはやめて本題に入れ? はいはい。それでは数学講座を始めましょー。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編I ベクトルの大きさを計算しましょう


 下の図のように、原点 O と座標 (2, 3) を結ぶベクトル

大きさ√13のベクトル

の大きさ r(α)大きさ(長さ) を計算してみましょう。ちなみに α はベクトルが x 軸となす角度ですよ。

 ベクトルの大きさ@.png

 これは簡単ねー。三平方の定理を使って

ベクトルの大きさの計算式

となりますねー。一般に

ベクトルa

の大きさは

ベクトルの大きさ

と計算できますよ。さて、以前にも単位円で同じようなことを話しましたけど、上の図にあるように、大きさ √13 のベクトルは半径 √13 の円周上に無数に存在しています。そのベクトルは x 軸から反時計周りに測った角度 θ を用いると、

半径√13の円周上ベクトル

と表すことができます。ベクトル r(α) はそのなかの1つですが、α の具体的な値を求めることは(手計算では)難しいのです。しかし何はともあれ、原点と座標点 (2, 3) を結ぶ直線が x 軸となす角度は確かに存在するわけですから、わからないなりに、それを α と決めておけば、

半径√13の円周上ベクトルA

と書くことができます。このように、角度と大きさを使う表式を「極形式」とよびます。もちろん、たとえば

大きさ√13のベクトルA

のようなベクトルであれば、θ = π/4 であることがすぐにわかるので、

√13の円周上ベクトルB

と表すことができます。 ≫ ベクトルの内積
 

2017年09月20日

単位円を使って三角関数の具体的な値を求めましょう

 あ、そうそう、最近 BlogCat さんが変なミスを連発して皆さんに迷惑かけてるみたいねー。つい先日も、数学教室の算数コーナーでアップする画像を間違えちゃったりしたみたいねー。慌てて修正してたみたいだけど、問題解いてる側からしたら「はあ? 今さら直したって遅いわよー! 私の時間を返せよー!」てなりますよねー。最悪ねー。ま、このへんにしときましょー。こばと、人の悪口とか言うの好きじゃないしー ...... な、何ですか? とにかく講座を始めましょー。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編H 三角関数の具体的な値を求めましょう


 以前にお話したように、円周上のベクトルは

円周上のベクトル

で表されます。

 @円周上の位置ベクトル.gif

 今回は θ にいくつかの具体的な値を入れて、ベクトルの成分を確定させてみますよ。
 まずは θ = π/4 から見てみましょー。

 A円周上の位置ベクトル45.gif

 これは簡単ねー。x 座標と y 座標が等しくなる角度だから、

三角関数の具体的な値45°

となります。次は θ = π/3 です。

 A円周上の位置ベクトル60.gif

 んん? 一見すると「ようわからへんなあ」と迷ってしまうかもしれませんけど、θ = π/3 = 60°は正三角形の角度だってことに気づけば、なんてことないのねー。

B正三角形60.gif

 cos(π/3) は底辺の長さの半分になってるから、 1/2 だってことはすぐにわかります。図の h が sin(π/3) に相当する部分ですが、これは三平方の定理から

三平方の定理

を解いて、h = √3/2 という値が得られます。つまり

三角関数の具体的な値60°

となります。次は θ = π/6 です。

 C円周上の位置ベクトル30.gif

 これは先ほどの三角形を横倒しにした形なので、θ = π/3 のときの x 成分と y 成分を入れ替えるだけです。つまり

三角関数の具体的な値30°

となります。θ = π/2 + π/6 = 2π/3 のように、角度が π/2 を超えるような場合でも、単位円を描けば、三角関数の値を知ることができるのです。

 D円周上の位置ベクトル120.gif

 図にあるように、

三角関数の具体的な値120°

となります。とはいえ、こんなふうに単位円から求められる点はごく限られていて、あらゆる角度について三角関数の値を計算しようと思ったら、微分積分で級数展開式を学ばなくてはなりません。それについてはずっと先のほうでお話する予定ですけど、とりあえず今のところは代表的な角度について素早く三角関数の値を計算できるように練習を繰り返してください。 ≫ 次回は「ベクトルの大きさ」ですよ〜
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