2017年04月17日

大小の極大値を交互に繰り返す関数のグラフ

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大小の極大値を交互に繰り返す関数のグラフ


 今回は

xcosx^2+1の平方根

という関数を考えてみます。Excel でグラフを描いてみると ...

 @余弦平方根.gif

 x = /2 のとき、谷の部分は 1 に揃います。
 また x = のときに極大値をとりますが、その点は

極大値

という曲線上に乗っています。この関数を減衰させるために指数関数を組込んで

xcosx^2+1の平方根*指数関数

という関数を作ってみます。

 A余弦平方根指数関数.gif

 減衰振動しながら、やがて y = 0 に接近します。
 今度は指数関数の中にさらに cosx を入れ子にして、

xcosx^2+1の平方根*指数関数A

という関数のグラフを描いてみると ......

 C余弦平方根指数関数.gif

 極大値が大きくなったり小さくなったりを交互に繰り返しながら、その値は少しずつ増加に向かっていきます。
 

2017年03月13日

限られた範囲で定義される関数

 「何となくの数学日記」を 姉妹サイト のほうで綴ることになりました。よろしくです。

限られた範囲で定義される関数

 高校で微積分を習い始めたばかりの頃に、

不連続点をもつ関数

の「 x → 0 における極限値を求めなさい」というような練習問題をよく目にしますね。 0/0 の不定形なので、分子を有理化するという手順で f(x) → 1 という極限値を得るのですが、これはこの関数が原点でぽっかり穴が空いている(不連続である)ことを意味しています。

 それに加えてこの関数は分子に根号があるために、x < −1 や 1 > x の値はとれません。原点での不連続性も含めて区間 [-1, 0) および区間 (0, 1] という限られた範囲のみで定義される関数です。実際にエクセルでグラフを描いてみると

 @不連続点をもつ関数.gif

 このような概形になっています。原点で値をもたず、x = ±1 で √2 の値をとります。
 cosx, sinx を掛けると次のような概形になります。

 A不連続点をもつ関数cosx.gif

 分子の根号同士の引き算を足し算に変えて、

不連続点をもつ関数(正)

としてみると ......

 B不連続点をもつ関数(+).gif

 今度は x → + 0(右側極限)で f(x) → +∞ となり、 x → −0(左側極限)で f(x) → −∞ となって原点で分離しています。
 

2016年12月17日

曲線によって囲まれる部分の面積が周期的に大きくなります

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@ x3 + y2 = 1 のグラフ


 今回の記事では

x^3+y^2=1

という関数を扱います。 x の関数として書き直すと

数学実験室129方程式A

となります。以前にも

数学実験室129方程式B

という方程式で扱いましたが、 y が負となる部分も定義してグラフを描き直してみます。

 方程式x^3+y^2=1グラフ.gif

 この関数は x ≦ 1 で定義されています。
 0 ≦ x ≦ 1 のあたりで U 字を描いて、x → −∞ で y → ±∞ となっています。

A 交差する点が生じます

 先ほどの関数に cosx を掛けて

cosxを掛ける

という関数をつくってみます。

 方程式√1-x^3cosxグラフ.gif

 x = 1 以外にも y = 0 となる点が生じてグラフが交差します。
 この点はもちろん cosx = 0 すなわち x = −π/2 − nπ です。

B 曲線によって囲まれる部分の面積が周期的に大きくなります

 次は sinx を掛けて

sinxを掛ける

という関数のグラフを描いてみます。

 方程式√1-x^3sinxグラフ.gif

 やはり sinx = 0 となる点で交差して、x が小さくなると曲線によって囲まれる部分の面積は周期的にどんどん大きくなっていきます。
 

2016年04月30日

相加・相乗平均の関係をグラフで解析します

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相加・相乗平均の関係をグラフで解析します

 証明問題に多用される定理の1つに相加・相乗平均の関係がありますね:

相加相乗平均

 等号成立は α = β のときです。
 ここで、α = x, β = a とおいて、相加平均と相乗平均の差分をとってみます。

相加平均と相乗平均差分

 相加・相乗平均の関係から f(x) ≧ 0 が成り立つはずです。
 グラフで確認してみましょう。

 @相加平均−相乗平均修正.gif

 パラメータ a のところで最小値をとる関数です。 a = 1, 2, 3, ...... と変化させると最小値を与える x も同じように正方向にシフトしていきます。念のために f(x) の微分を 0 とおいて確認しておきましょう:

f'(x) = [1 - sqrt(a/x)] = 0 ⇒ x = a  (sqrt は√ のこと)

 確かに x = a で最小値 f(a) = 0 をとります。
 a = 2 のグラフを抜き出してもう少し詳しく解析していきます。

 A相加相乗平均a=2.gif

 f(x) は α と β がどのような関係のとき、「相加平均と相乗平均の差がどのくらいなのか」ということを教えてくれます。たとえば上のグラフでは、β = 2 (対称式ですから α = 2 と考えても構いません)のとき、1≦α≦3 の範囲なら誤差 0.1 未満です。α の値が β から離れていくと誤差は大きくなっていきますが、特に α が小さいほうへずれていくとき、より急速に誤差が大きくなっていくことがわかります。たとえば α = 0.1, β = 2 のとき、

    相加平均 = 1.005, 相乗平均 = 0.141
    [相加平均 - 相乗平均] = 0.859

となります。相加平均は2つの数値の真ん中を返す平均ですから直感的に分かりやすいのですが、相乗平均は片方の値が真ん中からずれると、(相加平均と比較して)その値を小さめに見積もる傾向があることがわかります。つまり β に対して α が小さいときには、α のほうに重心がおかれ、逆に α が大きい時には β 側に重心がおかれるということです。
 ⇒ 理系英単語

2016年04月21日

指数の偶奇によって定義域が変化します

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指数の偶奇によって定義域が変化します

  次の式が半円の方程式を表していることはご存知だと思います:

無理関数

 √ の中身が負にならないように、定義域は [−1, 1] という狭い範囲に制限されます。
 一応グラフも載せておきます:

 @半円グラフ.gif

 指数を 3 に変えると負の領域の定義域制限が解除されます:

 Asqrt(1-x^3).gif

 x が負であるとき、 x3 は正の値をとるからです。
 x が負の側にその絶対値を大きくしていくと、√ の中身の 1 は無視できるので、
近似的に曲線 y = − x 3/2 とみなせます。

 x の指数を 4 にすると再び [−1, 1] という定義域制限が復活します:

 Bsqrt(1-x^4).gif

 このように x の指数の偶奇によって x < 0 における定義域の制限の有無が変化します。最後に円の方程式に三角関数を乗じた関数を載せておきます:

 Csqrt(1-x^2)sinx.gif
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