2019年01月10日

原点で丸い絶対値関数

 双曲線関数 ハイパボリックコサイン関数 の自然対数
 
ハイパボリックコサインの対数

のグラフは次のようになります。

 双曲線対数.png

 xが正の無限大 では 数学実験室 exp(-x) は無視できるので、直線 直線y=x に漸近します。同様に Excel xが負の無限大 のときは直線 Excel 直線y=-x に漸近します。すなわち原点付近以外では近似的に Excel y=|x| とみなせる関数です。数学実験室 g(x)とf(x)の誤差関数 のグラフは下図のようになります。

 g(x)マイナスf(x).png

 x=±4 のあたりで、両関数の差はほとんどなくなっていることがわかります。

2017年05月16日

波の数を増やしてギザギザにします

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波の数を増やしてギザギザにします

 今回は f(x) = log [1 + x + 1/x + g(x)] という関数を作って g(x) に三角関数を入れてみます。その前にまず g(x) = 0 としたときのグラフを見ておきましょう。

 対数関数(g=0).gif

 原点付近で + ∞ になり、極小値を作ったあと再びゆったりと + ∞ へ向かう関数です。
 それでは g(x) = cosx を入れてみます。

 対数関数(g=cosx).gif

 全体的になだらかに波打つようになりました。
 cosx の影響で極小値をとる x もずいぶんと右側に寄っています。
 今度は g(x) = cosx + sinx としてみます。

 対数関数(g=cosx+sinx).gif

 波の数が増えてきました。g(x) = cos5x + sin2x とすると ......

 対数関数(g=cos5x+sin2x).gif

 振動周期が短いのでギザギザです。
 

2017年04月24日

階乗の対数を計算します(巨大数を対数で抑え込みます)

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階乗の対数を計算します


 n! の自然対数をとって

f(n) = log(n!)

という数列をプロットしてみます( n ≧ 1 で定義します)。

 Excel@階乗の対数.gif

 n! はとても大きな値を返す演算です。たとえば n = 40 であっても

40! = 8.16 × 1047

という巨大数になってしまいます。logx は抑え込みの強い関数なので log(n!) の増加曲線は比較的緩やかになりますが、それでもその増加率は少しずつ大きくなり、たとえば区間 [10, 20] では 冉/冢 ≒ 1.8 であるのに対し、[100, 110] では 冉/冢 ≒ 3.7 に上昇します。そこで log(n!) を n で割ってみると ......

 ExcelA階乗の対数関数÷nグラフ.gif

 冉/冢 は n の増加と共に小さくなります。
 それでもなお n! の寄与が勝って上昇曲線を描いていますね。
 log(n!) を n2 で割って初めて減少関数となります。

 ExcelB階乗の対数関数÷(n平方)グラフ.gif

 ところでエクセルでは階乗を FACT 関数で計算するのですが、階乗は巨大数なので n = 171 以上を計算させようとするとエラーとなってしまいます。エクセルでは 15 桁までの数しか処理できないからです。そこで n が非常に大きな数をとるときに、

c × 10b

の形で表すことにして、b, c を求める方法を姉妹サイトの 「巨大な階乗数 n! を計算するマクロ 」 で扱っていますので、よければ参考にしてください。
 

2017年01月29日

周期的な結節点 (crunode) をもつグラフ

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周期的な結節点 (crunode) をもったグラフを作ります

 今回は

exp(−x2) + exp(y2) = a  [1]

という方程式を扱います。y = f(x) の形で表すと

expx2+expy2多価関数

という多価関数です。ここで平方根の中身が常に正となるように a の範囲を定めておくことにします。すなわち

log [a − exp(−x2)] ≧ 0

となるのは、

a − exp(−x2) ≧ 1

のときです。少し整理すると

a ≧ exp(−x2) + 1

です。exp(−x2) の最大値は 1 なので、

a ≧ 2

と定めておくと、全実数で定義される関数となります。

 それでは a = 3.0, 2.5, 2.0 のグラフを描いてみます。

 2 価の関数exp(-x^2)+exp(y^2)=2.gif

 2 価の関数です。 a の値が小さくなるにしたがって、2つの曲線は原点に向けて凹んでゆき、a = 2.0 では原点で交差します。 [2] に三角関数を掛けて

expx2+expy2三角関数組込

という関数をつくってみると ......

 exp(-x^2)+exp(y^2)=2三角関数組込.gif

 このように 周期的な結節点 (crunode) をもったグラフ になります。
 

2017年01月24日

少しずつ底が平らになります

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をお読みください。要するにご自身のサイトのどこかに「リンクを1つだけ貼ってください」ということですが、どちらの画像を使用する場合も、そのリンク先は「数学教室」にしてください。そこだけ間違わないでくださいね。

 今回は三角関数の肩に √x を乗せて

三角関数の肩に√x

という関数のグラフを描いてみます。

 三角関数^平方根.gif

 (1/2)√x の部分が関数を減衰させていきます。
 x が大きくなるにしたがって 波の谷の部分(極小値)が平らになってゆき、x 軸にべったりと張り付くようになるのが特徴です。次はこの関数に x をかけて

三角関数の√x乗

というグラフを描いてみます。

 x三角関数^平方根(拡大).gif

 x が掛かっているので、振幅はいったん大きくなりますが、すぐに (1/2)√x の寄与のほうが強くなって減衰を始めます。極小値付近が平らになってゆくのは先程の関数と同じです。
 
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