2017年01月04日

小さな結び目が現れます

小さな結び目が現れます

 前回のスーパー楕円変形版に三角関数を組み込んで

cos楕円

という方程式を作ってみました。

 三角楕円@.gif

 両端に小さな結び目が現れましたね。
 すでに楕円とはいえませんが、楕円らしき面影を残してはいます。
 cosq x の代わりに sinq x を組込んで

sinを組込んだ楕円

としてみると ......

 三角楕円A.gif

 蝶ネクタイみたいな形になります。
 他にも色々バリエーションがありますけど、
 特に面白かったのは cosq x sinq x を組込んだ

cosとsinを組込んだ楕円

という方程式です。

 三角楕円B.gif

 蝶ネクタイの両端にさらに小さな結び目があるという、何だか愛嬌のある曲線です。
 

2017年01月03日

角の切り取りが非対称になります

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角の切り取りが非対称になります

 前回扱ったスーパー楕円の方程式を再掲します。

スーパー楕円

 今回はこの式を少し変形して

変形楕円@

という新しい楕円方程式を考察してみます。 (a, b) = (1, 2) と固定し、

変形楕円A

としてパラメータ (p, q) を動かしてみます。まずは (p, q) = (2, 3) とすると ......

 変形楕円23.gif

 こんな形になります。 (p, q) = (3, 2) としてみると ......

 変形楕円32.gif

 p と q を入れ替えただけで、かなり様相が違っていますね。
 スーパー楕円と異なるのは、角の切り取り方にバリエーションが生じるということです。分かりやすいように (a, b) = (1, 1) として方程式を

変形円B

と書き直して調べてみます。ただし −1 ≦ x ≦ 1 , −1 ≦ y ≦ 1 という範囲に制限しておきます。楕円というよりは円の変形版ですが、とりあえず p = q = 3 としてグラフを描いてみましょう。

 変形円33.gif

 このように p = q ならば y = x について対称な形のグラフになっています。
 これを (p, q) = (2, 4) のように変えてみると ......

 変形円24.gif

 今度は y = x について非対称となります。
 つまり角の切り取り方が非対称になっているということです。
 さらに a や b もパラメータとして色々変えてみると、様々な楕円ができますので、皆さんもエクセルで試してみてください。
 

2016年12月28日

スーパー楕円はストックホルムの都市計画に採用されました

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スーパー楕円(建築、インテリア、テーブル、ホットプレート ... )

 「四角いようなー、丸いような−」みたいな物って意外と身近にありますよね。
 ほら、テーブルとかホットプレートのように長方形から角をとった形です。
 この形状は数学者でもあり詩人、そして建築家でもあるピート・ハイン (PietHein) というデンマーク人によって考案されました。その名も スーパー楕円 です! 
 スーパー楕円は当初ストックホルムの都市計画に採用され、今では建築やインテリアデザインなど様々な分野で目にする形となりました。でもスーパー楕円は正式な数学用語ではないという話もあって、そのへんのところは私もまだよく理解していません。おそらくもっと広範に包括する代数曲線があると思うのですが、とりあえず世間一般(?)に知られるスーパー楕円は

スーパー楕円1

という式で定義され、もちろん普通の楕円 (p = 2) も含みます。
 一般的には p > 2 をスーパー楕円とよびます。 a = 2, b = 1 を固定すると

スーパー楕円2

となります。この式で p を変化させてグラフを描いてみます。

 スーパー楕円.gif

 緑、青、赤の順に p = 2, 3, 4 としてあります。
 緑色の楕円から徐々に長方形に近づいている様子がわかりますね。
 スーパー楕円は p → ∞ の長方形も含む方程式です。
 ちなみに一般的によく使われている形状が p = 2.5 としたものです。

 スーパー楕円25.gif

 この形状に限ってスーパー楕円と呼ぶ人もいるようです。
 今度は逆に p = 1 から値を小さくしていきましょう。

 スーパー楕円04.gif

 ひし形( p = 1 )から星形へ縮んでいく様子がわかります。
 この形は本質的にアステロイドと同じもので、実は以前にも

|x|p + |y|p = a

という方程式で似たような形を扱っています。 p → 0 とすると十字の線分へと収束していきます。次回はこのスーパー楕円方程式を少し変形してみる予定です。
 

2016年12月13日

2次方程式の解を平面上に表します

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@ 鋭くカーブする直線


 次のような2次方程式を考えます。

2次方程式@

 x が実数解をもつ範囲を考えます。判別式を D とすると

判別式@

なので実数解をとる範囲は a ≦ −1, および 1 ≦ a です。解は

2次方程式の解

と表されます。ここまでは数学TA の演習問題などでおなじみですね。しかし本当に知りたいのは x が a を変数としてどのような曲線を描くかということです。さっそく Excel で図示してみると ......

 2次方程式の解曲線A.gif

 鋭くカーブした曲線が2つ現れました。
 最初に確認したように区間 (−1, 1) には解は存在していません。
 a = ±1 以外では実数解は2つ存在するので、1つの a に対して 2 つの x が対応します。|x| を大きくしていくと片方の解は 0 へ収束していきますが、もう一方の解は ±∞ となります。

A 星形のようなグラフ


 係数が変われば曲線 x = f(a) の形も変化します。

2次方程式A

という方程式の解を調べてみましょう。解の公式から

2次方程式の解A

が得られます。この式から a = 1 では解をもたないことがわかります。 x が実数解である範囲は 0 ≦ a < 1, 1 < a ≦ 2 です。 x = f(a) のグラフは次のようになります。

 2次方程式の解曲線.gif

 星形のようなグラフですね。a が 0 あるいは 2 に近いところでは2つの解が非常に近い値をとることがわかります。 a → 1 で解は ±∞ となります。
 

2016年10月24日

3 次関数の 1 次の項と 2 次の項の係数の関係

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3 次関数の 1 次の項と 2 次の項の係数の関係

 今回は x の 1 次と 2 次の項が含まれる

y = x3 + x2 + c x

という 3 次関数について調べてみます。この場合、 1 次の項の係数と 2 次の項の係数の関係 によって様子が変わります。y を微分すると

y' = 3 x2 + 2 x + c   [1]

となるので、y' = 0 となる点は

3 x2 + 2 x + c = 0   [2]

という 2 次方程式で求められるのですが、この方程式が実数解をもつかもたないかで、グラフの様子が変わってしまいます。判別式は

D = 1 − 3 c

ですから、とりあえず c ≦ 1 / 3 であれば実数解をもつので、まずその場合を考えてみます。 [2] から c = − 3 x2 − 2 x を [1] に入れると簡単に極値の軌跡が求められます:

Y = −2 X3 − X2

 c = 0, −2, −4 と変化させたグラフを描いてみると ......

 3次関数の係数c.gif

 軌跡に沿って、極大値は左上に極小値は右下に移動しています。このように、 c ≦ 1 / 3 のときは c が小さくなるほど極大値の山を高くし、極小値の谷を深くしていく効果があることがわかります。

 次は [2] が虚数解をもつ場合 (c ≧ 1 / 3) を考えます。つまり極値をもたない場合です。 c = 1, 2, 3 でグラフを描いてみると ......

 3次関数係数c極値なし.gif

 c の増加と共にカーブがなくなってゆく様子がわかります。

 こうした違いは x3 に対して x の項がどちら側に寄与するかに起因しています。簡単のために c が負であるときを考えると、増加しよう(あるいは減少しよう)という x3 の傾向に対して、1 次の項が反対符号に作用させる効果となり、山や谷を形成します。ただ x2 の項は常に正方向に効くので、|極大値| > |極小値| という関係になっています。また c > 0 であれば x3 と同じ正方向に寄与します。 c ≧ 1 / 3 のときは極値をつくりません。ただ、 c < 1 / 3 であるときは x が負の領域で x2 の寄与が勝って小さな極大値をつくります。また同じく負の領域で目に見えないぐらいの極小値も存在します。非常に細かい話になりますが、|x| ≪ 1 では x3 が c x に勝って負の値をとるからです。下図に c = 0.1 のグラフの拡大図を載せておくので、参考にしてください。

 3次関数係数c拡大図.gif

 このように、3 次関数における極値の様子はパラメータ同士の微妙な兼ね合いによって変わってしまうのです。
 
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