Excel VBA　数学実験室

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円を楕円に変換する行列

　それでは R_θ に少し手を加えて、


という行列を作ってみます。左上の cosθ に 1 を加えただけです。この行列は円を楕円に変えますが、θ によってその長半径や角度が変わります。 S_θ で θ = 0° から 60° 刻みで 300° まで、コマ送りのようにして変化の様子を見てみましょう：

　


　楕円は反時計りに回転しながら小さくなっていきますね。途中 θ = 180° では完全に潰れて面積 0 の楕円、つまり直線になっています。そのあとまた回転しながら今度は少しずつ大きな楕円を形成していきます。以上の議論を一般化してみたい人は、紙と鉛筆で行列計算をして変換された (X, Y) が楕円方程式を満たしていることを確認してみてください。
　⇒ なんとなくの数学日記（黒猫さんの子育て） 　

　線形代数学の分野に入ります。特に１次変換は表計算ソフトとの相性が良く、行列演算の結果を視覚的に捉えることができるので、このブログでも重点的に扱っていきます。

図形を反時計回りに回転させる行列

　まずは有名な回転行列


による演算を再確認していきましょう。この行列は任意の点 (x, y) を原点を中心に 反時計回りに回転させる行列 ですね。具体的に書き表すと、

　　

という演算になります。これを例えば直線の方程式

　　　x = t,　y = t

に、θ = pi/6 = 30° とした R₃₀ を作用させると（このブログでは行列右下の添字は回転の角度を表すと決めておきます）・・・・・・



黒い線が元の直線、赤い線が演算後の図形です。このように直線全体が 30°回転します。では R_θ を半径 1 の円の方程式

　　　x = cosθ,　y = sinθ

に作用させたらどうなるでしょうか？　「少しも動かないよ。わかりきってるでしょー」と思われるかもしれませんが、一応確認しておきましょう。θ = 20° の R₂₀ で試してみます。



　円の形そのままですね。動いた気配はまったくありません。確かに図形自体は動いていないのですが、円周上の各点は 20° 回転しているはずです。それを見るために、元の円をドット（点）で表示すると、回転の様子がわかるはずです：



　全ての黒い点が赤い点に移り変わっている様子がわかりますね。このように全ての円周上の点が揃って 20° 回転することで、円の形を保持しているのです。