Excel VBA　数学実験室

緩やかに拡大する曲線

　アステロイド曲線をベースにあれこれ変形していたら、とても美しい曲線を２つ発見したので載せておきます。最初はアステロイドの媒介変数方程式に log(t+1) を乗じた
　

という方程式で表される曲線です。

　

　原点から外側に向かって拡大する星型曲線です。対数関数の増加率は t が大きくなるほど減少するので、内側と外側の線の間隔は少しずつ狭まっていきます。これをもう少し変形して、
　

という方程式で表される曲線は下図のようになります。

　

　第 1 象限と第 3 象限に広がってゆく曲線です。 　

　こちらのブログでは本当に久しぶりの更新となります。
　初心に返って（？）、エクセルで面白いグラフを描いてみます。

三角形もどきの閉曲線

　今回は


という媒介変数で表された曲線のグラフを描いてみます。

　

　三角形をぐにゃりと曲げたような形になっています。
　少し形を変えて、


という方程式で表された曲線のグラフを描いてみます。

　

　左上隅だけが直角になっている「直角三角形もどき」が現れました。
　また少し形を変えて、


としてみると ......

　

　おにぎりのような形のグラフが現れました。
　確か以前にも同じような形のグラフを描いたような気がしますが ...... 思い出せない。 　

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卵に空豆、ハート形？

　r = sin[a cosθ + b sinθ] という極方程式について調べます。
　パラメータ a, b を色々と変えてグラフを描いてみます。

　

　卵型やら空豆型（？）やら、面白い形が並んでいますね。
　もう少し a と b を大きくしてみましょう。

　

　このあたりから何やら正葉曲線のような形が現れます。
　葉の形は色々あって、ハート形のようなものも現れています。

2 つの対称軸をもちます

　今度は r = cos[a cosθ + b sinθ] を調べてみます。

　

　最後の図には緑色の線で対称軸を書いておきました。
　対称軸に関して折り返すと図が重なります。他の 3 つのグラフにも 2 本の対称軸があることを確認してみてください。
　 　

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　以前に正葉曲線 r = sin(nθ) を扱いました。
　n = 1 から n = 4 のグラフの概形を再掲します。

　

　今回はこの正葉曲線の中身にさらに三角関数を入れ子にして、色々なグラフを描いてみようと思います。

カレーパンとクリームパン

　まず sin を入れ子にした


という極方程式のグラフを調べてみます。直交座標への変換は


となります。 n = 1 から n = 3 まで並べてみましょう。

　

　個人的に気に入ったのは n = 2 のグラフです。
　何とも表現しにくい曖昧な形がまた面白いのです。
　カレーパンやクリームパンにも似ている気がしますね！

瓢箪みたいな形が現れました

　いえまあ、そんなおしゃべりはさておいて、次は


という極方程式のグラフを描いてみましょう。直交座標変換は



です。これも n = 1 から n = 3 まで並べてみると ......

　

　これも n = 2 が断然に面白いですね！
　瓢箪みたいな形になっていますよ！
　「正葉曲線もどき」はなかなか味わい深いので、次回もちょっといじってみようかと思っています。
　 　

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Excel で変幻自在のグラフを描きます

　三角関数を含んだ媒介変数方程式


において a を変化させていきます。今回は細かい解説抜きでコンピューターの描き出す変幻自在のグラフを眺めて楽しんでください。

　

　

　

　いかがでした？　sin の変数を少し変えるだけでこれほど複雑に様相を変化させるのです。媒介変数表示の方程式は y = f(x) の形に表せないものがほとんどで、とても複雑な曲線を描きます。関数の組合せは無数にあると思うので、まだまだ知られていない形がたくさんあると思います。皆さんも「こんなグラフを見つけたよ！」というものがあれば、コメントで教えていただけると嬉しいです。
　⇒ なんとなくの数学日記