Excel VBA　数学実験室

　姉妹サイト「 Excel VBA 数学教室」の各コーナーへのリンクメニューを作りました。

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当ブログと姉妹サイトのコンセプトの違い

　コンセプトというほど大げさなものではないのですけど、こちらのブログでは「 Excel をいじってたらこんな面白いグラフを見つけたよー」というようなことを、その時の気分次第で書いちゃってるところがあります。前の記事で２次関数を扱っていたと思ったら、次の記事ではいきなり大学レベルの数学が現れたりして、ちょっとだけカオスな状態です。
　対して「 Excel VBA 数学教室」はサイト仕様にしてありますので、なるべくしっかり（と心がけながら）初等数学（中学・高校〜大学２年ぐらい）を体系的に分類しています。なので「数学の基本的な公式はなんだったかなー」というようなことを調べたい場合は、向こうのサイトのほうが適しています。また、あちらにも当ブログでお馴染みの「 Excel 数学グラフ」もふんだんに用意してあるので、「最近このブログの更新遅いなー」と思ったりしたときは、ぜひ「 Excel VBA 数学教室」に立ち寄ってみてください！　いえ、もちろん、こちらのブログもなるべく早い更新を心がけますので、どちらもよろしくです！
　 　

　開設したばかりのコーナーです。
　具体的な各公式については、もう少しあとで記事が入りますので、しばらくお待ちください。数学公式全般に対する考え方・覚えるための一般論は以下に書いてあります。

数学公式の覚え方

　数学の問題を解くためには、ある程度の公式を覚える必要があるのは事実です。
「数学問題を解くのは好きだけど、この覚えるまでの過程が面倒くさい」
という人もけっこうおられるかもしれません。

「覚える公式は最低限にして、色々な公式をなるべく導き出せるようにしたほうが良い」という意見もありますが、私としては、公式はなるべくたくさん頭に入れておいたほうが数学の問題に挑む時の「ストレス」を軽減できると考えています。ただでさえ難しい問題が目の前にあるときに、「ええと、ここで使うべき公式は ...... 」などと導きだす計算なんてやっていると、必要以上の精神的重圧がのしかかって、そのうち問題を見るのも億劫になってきて、最後には「もう数学なんてやーめた」ということになってしまうかもしれません（ちょっと極端ですが）。

　そして何より入試などでは時間が限られているわけですから、公式を導き出すために、たとえ 1 分か 2 分であっても、貴重な時間を犠牲にしたくはないはずです。

　私は「たくさんの公式を覚えること」は必ずしも数学の本質の理解の妨げになるとは思えません。数学における公式は算数の「九九」と同じようなものだと考えています。「九九」を覚えずに 2 桁の掛け算を実行しばければならないとなると、途方もない労力が必要になります（足し算の繰返しになります）。私たちは「九九」を知っているからこそ、2 桁だろうと 3 桁だろうと何の苦も無く掛け算を実行することができるのです。

　それと同じように、数学においても頭の引き出しからスムーズに公式を出し入れすることができるようになれば、目の前にあるより重要な本質に集中できるようになります。

　そもそも数学の公式なんて、全部覚えたとしても 100 個を超えるかどうか、という程度です。入試で膨大な暗記を要求される文系の人からすれば、「ええ！？　それぐらいも覚えられないの？　どんだけ面倒くさがりなの？」と思われてしまいますよ。まあ、理系の人は単調な暗記を嫌がる人がけっこういるのも事実ですけどね。

　もちろん「公式をじっと見つめて覚える」という方法は全くおすすめできません。私のおすすめする方法は「問題を解きながら覚える」というものです。その手順は次のようなものです：

　[1] 手元の紙に覚えたい公式をメモしておきます。

　[2] 自分がよく使っている問題集などを用意します。

　[3] 簡単なもので構いませんので、
　　　解答を見ながら覚えたい公式を使っている問題を選びます。

　[4] 最初の 2, 3 回は、解答を写し取りながら解法を頭に入れます。

　[5] 今度はまた 2, 3 回繰り返して自力で問題を解きます。
　　　公式を使うところはメモを見ます。
　　　ここで解けないようなら、選んだ問題が難しすぎるので選び直してください。

　[6] そろそろ解法を丸暗記するぐらいになっていると思いますので、
　　　今度は時間を計って解きます。ゲーム感覚で楽しむつもりで、
　　　自分が納得できるタイムがでるまで挑戦し続けましょう。

　人間とはすごいもので、たぶん驚くほどのスピードでその問題を解けるようになっていると思いますよ。[1] - [6] のステップで、公式は自然と頭に定着しているはずです。問題を解く力もプラスされているはずです。まさに一石二鳥です。頑張ってください！
　 　

数学問題集（解答付）リンクメニュー

【問題 01】 整数解を見つけます
【問題 02】 逆三角関数を微分します
【問題 03】 調和平均の性質を調べます
【問題 04】 f(x) = cosxsinx/(cosx + sinx)
【問題 05】 2 次関数によって切り取られる線分
【問題 06】 カテナリー（懸垂線）の長さを求めます
【問題 07】 楕円上の動点が作る三角形
【問題 08】 完全数を判定します
【問題 09】 マクローリン級数で平方根を計算します
【問題 10】 1 の 5 乗根を求めます

【問題 11】 2 次方程式の解の振る舞いを調べます
【問題 12】 y = x sqrt[1 − x²]
【問題 13】 こばとちゃんはチョコアイスが好きなのです
【問題 14】 こばとちゃんがチーズケーキの独り占めを画策しています
【問題 15】 締切前は誤字・脱字に注意です
【問題 16】 1 の 3 乗根を複素平面にプロットします
【問題 17】 三角不等式を証明してみましょう
【問題 18】 子音のあとに母音をつける規則で並べます
【問題 19】 中華料理店で円順列
【問題 20】 沙希ちゃんの受験を応援します！

【問題 21】 ルジャンドル関数の直交性を確認します
【問題 22】 Arcsinx を級数展開して円周率の近似値を求めます
【問題 23】 ベータ関数を用いて積分します
【問題 24】 虚数解の描く軌跡
【問題 25】 合同式で余りを求めます
【問題 26】 合同式で 1 の位を求めます
【問題 27】 整数と順列の問題です
【問題 28】 複素等比数列の和を求めます
【問題 29】 ババ抜きの勝率を計算します
【問題 30】 縦横に並んだの等差数列

【問題 31】 正三角形と内接する円の面積比を求めます
【問題 32】 2 等辺三角形に外接する円の面積
【問題 33】 書庫を整理しながら仕事算
【問題 34】サイコロで変化する係数
【問題 35】徒競走で数学です！
【問題 36】数字のピラミッドにチャレンジ！
【問題 37】年齢算について学びましょう
【問題 38】 3 つの連続する整数
【問題 39】 大きな数の割り算
【問題 40】 バスの座席の数を当てます

【問題 41】 ギザの大ピラミッドが作る影
【問題 42】 食塩水をどんどん薄めます
【問題 43】 フィボナッチ数列
【問題 44】 Web ページで色が表示される仕組み
【問題 45】 パウリ行列で因数分解します
【問題 46】 半円を回転させます
【問題 47】 無理数であることを証明します
【問題 48】 サイコロを 4 個振ります
【問題 49】 八面体のサイコロを振って ......
【問題 50】 微分方程式（定数変化法）

【問題 51】 微分方程式（変数分離その１）
【問題 52】 微分方程式（変数分離その２）
【問題 53】 楕円の曲率半径を計算します
【問題 54】 アニェージの曲線
【問題 55】 くじ引きの順番で有利不利はある？
【問題 56】 逆三角関数の半角公式を証明します
【問題 57】 x³ + y³ = 1 のグラフ
【問題 58】 数列クイズ始めました
【問題 59】 n = 2 から始まる数列です
【問題 60】 奇妙な数列

【問題 61】 分数が並んでいます
【問題 62】 無理数が並んでいます
【問題 63】 周期１０で循環します
【問題 64】 あの数字を記憶していれば気づくかもしれません
【問題 65】 並んでいる数字は全て○○です
【問題 66】 ヒントは割り算？
【問題 67】 数列上級者向けの問題です！
【問題 68】 a + bc = 23, ab + c = 19 を満たす正整数の組を求めます
【問題 69】 最大の体積をもつ直方体はどんな形？

【問題 70】 エクセルの列は 26 進数です
【問題 71】 立方体を塗り分けます
【問題 72】 円を線分で分割します
【問題 73】 サイコロを無限回振って出た目の積が偶数になる確率は？
【問題 74】 猫を飼っているのは何世帯？
【問題 75】 都立東池袋高校でアンケートをとりました
　 　

地球の半径から１海里を計算してみましょう

　地球の赤道半径は R = 6378 km です。だから地球をぐるりと取り巻く周の長さは

　 L = 2×3.14×6378 = 40053.84km

となります。これを 360 で割ると緯度１°あたりの距離は

　緯度１°= 40054/360 = 111.26km

と計算できますね。でも国際海里は「赤道における緯度１分に相当する距離」と定義されています。１分（１′）は１度（１°）の 1/60 ですから、上の値をさらに60で割りますと、

　緯度１′= 111.26 ÷ 60 = 1.8543km = 1854m

という値がでてきます。しかし正確な定義である 1852m とは少しずれていますね。どうしてこんな誤差が生じたのでしょう？　それは地球が完全な球体ではなく、自転の影響でほんの少しだけ横に膨れた楕円体だからです。さらに正確に言えば地球は表面がでこぼこしていますから、楕円体ですらないはずです。でもそんな細かいことまで言っていては何も計算できないので、近似的にベッセル楕円体という形が用いられます。

　その計算はベクトル解析と第２種完全楕円積分 E(k) を知っていれば計算できます。理数系の方は肩慣らしに計算してみてください。ここでは式だけ書いておきます。

　ベッセル楕円体の諸定数

　長軸の長さ：a = 6377397.155 m

　短軸の長さ：b = 6356078.963 m

　円周の長さ：L = 4aE(k)

　　

　計算にはExcelを使うことをお勧めします。関数電卓だとちょっと面倒です。E(k)は級数ですが、第４項で打ち切って十分な精度が得られます。答えは1852.01033mです。

　海里のついでに航海で使用されるノット（kt）も覚えておきましょう。１ノットは１時間に１海里進む速度のことです。つまり、1kt = 1.852km/h です。気象予報の風速にも kt が使われます。
　　 　

物理のための応用数学 [裳華房／小野寺嘉孝]

　私が学生時代から愛用し、またこのブログの記事を書くために、もっとも参考にする回数の多い本です。物理学科で学んでいる人にはぜひ手元に置いてほしい本です。
　

物理のための応用数学 中古価格 ￥1,387から (2016/7/5 02:21時点)

　本書は微積分、常微分方程式、線型代数学、ベクトル解析等、基礎的な内容をすでに修めている大学 2, 3 年生を対象に書かれた本です。数学もこのあたりに入ってくると、本当に面白くなってきます。本書には以下のように、実に多彩な内容が 200 頁の中に網羅されています：


　頁の割に内容が多いので、途中の計算式などは省かれていたりしますが、ここまで学ぶ力のある人にとっては、むしろ無駄がなくすっきりとしたレイアウトに感じられると思います。もちろん行間を埋めるために計算用紙と鉛筆は必須です。自身で丁寧に計算しながら少しずつ読み進めてみてください。

変分法を学んで新たな視点を獲得しましょう

　私が特に秀逸だと感じたのは第 2 章の「変分法」です。感覚の掴みにくい変分法の世界を、本書は実に巧みにガイドしてくれます。特に物理学を専攻している人にとって、変分法を理解するということは、自然現象に対して全く新たな視点を得るということになるので、この章だけでも一読されることをおすすめします。

色々な直交多項式が紹介されています

　第 5 章にはエルミート多項式に始まって、ルジャンドル、ラゲール、チェビシェフ、球面調和関数といった有名な多項式は全て網羅されています。このあたりの内容は当ブログでもおなじみですね。当ブログでは（母関数からの）導出などは省いていますので、より詳しい数学的背景を知りたい人はこの章を読んでみてください。

合流型超幾何関数

　合流型超幾何関数は前述のラゲール多項式や後の 8 章のベッセル関数などを含む汎用関数です。非常に抽象的で本書の中でも最難関でありますが、それだけに底知れぬほどの数学的な深みがあります。

三角関数以外にも周期関数が存在します

　８章はベッセル関数です。学生時代に n 次多項式でこれほどエレガントな周期関数を表現できることに驚いたものです。当ブログでも再三再四登場する関数ですね（私のお気に入りだからです）。 8 章丸ごと使ってこの関数について解説していますので、記述が丁寧で平易です。この章だけ読んでも理解できますが、さすがに立ち読みでは難しいですよ？　ぜひ買ってくださいな。

　ついでに演習書も紹介しておきます。
　

物理のための応用数学 (基礎演習シリーズ) 中古価格 ￥1,200から (2016/7/5 02:22時点)