2017年11月01日

2 つのベクトルが直角ならば内積は 0 です(その逆も然りだよ)

 はーい! ちゅうもーく!
 え? そのネタは前にもやった? そうだっけ?
 あ、そうそう、金八先生ごっこなんてやってる場合じゃないんですよ〜(←じゃあ、やるな)。実は こんなこと があってね〜。そして、ついに今晩、仕事を終えたあとに『あとりえこばと』の地下保管室にある金庫を開けて、指輪を持って行くことを決意したのです。飛んでる最中に落としたりしたら大変ね〜。しかもこのタイミングで、今度の土曜日には姉が東京に来るんですよね。それがどうも心配なのね〜。ま、いいや。とにかく講義を始めましょ〜。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編K 2 つのベクトルが直角ならば内積は 0 です

 前回に引き続いて内積のお話です。内積は

ベクトル内積

というように定義されていましたね。ここで θ を 0 にすると、内積も 0 になってしまいます。

 @直角のときはベクトルの内積は0.gif

 この性質は数学の色々なところで使われているし、大学入試問題でも頻出するので、受験生は「直角」と言われたら「内積 0 !」と条件反射で叫んでしまうぐらいになじんでおかないとダメですよ。まあ、本当に叫んだら、ただの変な人だけどね。さて、内積を成分表示すると

内積成分表示

と表されることをすでに学んでいます。そこでどう考えても明らかに直角なベクトル

直角単位ベクトル

について公式を確認してみますよ。

 A直角のときはベクトルの内積が0.gif

 ちなみに、このように長さ 1 のベクトルのことを単位ベクトルとよびます。内積をとってみましょ〜。

単位ベクトルの内積

 確かに 0 になりましたねー!
 この 2 つのベクトルは紛れもなく直角です!
 え? そんなことわかりきってる? あ、そう。
 それでは今度は逆に、あるベクトル

任意のベクトル

が与えられたとして、これと大きさが同じで直角なベクトル直角ベクトルを考えてみましょう。内積の式に入れてみると、

直角ベクトル内積成分表示

となります。右辺を 0 にすればいいのですから、

ベクトルaと直交するベクトルの成分@

としてやればいいのです。でも、

ベクトルaと直交するベクトルの成分A

としても、やっぱり内積は 0 になりますね〜。このベクトルをあらためて直角ベクトルとしておきましょ〜。

 B直角なベクトルは2つ.gif

 図を見れば、適当な平面ベクトルと同じ大きさで直交するベクトルは 2 本あることは一目瞭然です。その 2 本は互いに逆向きになっています。つまり、これらの内積は −|a|2 になっているはずです。確かめてみましょ〜。

反対方向のベクトルの内積

 ちゃんと −|a|2 になっていますね。まあともかく、こんなふうに、ベクトルの内積は角度の情報を与えてくれるので、なにかと便利なのです。みなさんもどんどん内積をとってくださいな〜。それではまた次回お会いしましょ〜。

 ≫ 次回は加法定理を導きますよ♪
 
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