2017年10月18日

余弦定理とベクトルの内積

 はーい! ちゅうもーく!
 今日は内積について話します。いいですか、皆さん。
 ベクトルの内積、これはとても大切なことです。
 今は何のためにこんなことを学ぶのかと思うかもしれません。しかし将来、もし君たちが計算の途中で道に迷ったら、どうか内積のことを振り返ってください ...... このネタ、若い人は知らないよね。いちおう言っておくと、金八先生ね〜。

 昭和の頃、こばとも毎週欠かさず熱心に見てたんだけど、今思い返すと、かなりぶっとんだ話ねー。皆さんも機会があれば DVD を買って観てねー。ついでに Amazon の宣伝しておこうっと。

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こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編J 余弦定理とベクトルの内積


 というわけで本日は ベクトルの内積 のお話ですよ〜。
 まずは下の図を見てくださいな〜。

 Excelベクトルの内積.gif

 O を始点に A と B まで引いたベクトルをそれぞれ

ベクトルab

としましょう。A から B に引いたベクトルは

ベクトルc

となります。B から OA に垂線を下ろして交点を P とします。ここで AB の長さを OA と OB で表すことを考えます。三平方の定理を使うと

三平方定理

となります。ここでベクトルと三角関数を用いると


と表すことができるので

ABの長さ@

 ここで三角関数に関する基本公式

三角関数の公式

を用いると

ABの長さA

となります。これを 余弦定理 とよびます。そして右辺に現れた

ベクトルの内積の定義

ベクトルの内積 と定義して

ベクトルの内積

という記号で表すことにします。すると余弦定理は

ベクトルの内積を用いた余弦定理の表式

と書くことができます。今度は、この余弦定理をベクトル成分で表してみます。

ベクトルc

なので、三平方の定理を用いると、ベクトルの大きさの平方はそれぞれ

ベクトルの大きさの平方

となります。これを余弦定理に入れて整理すると

内積の成分表示

と成分で表すことができました。


ベクトルの内積の意味


 あらためて定義式をじっくり見てみると、内積は図のようにベクトル ベクトルb の OA への射影の長さと、ベクトル ベクトルa の長さを掛け合わせたものとなっていますね〜。

 内積の定義.gif

 そこで直交座標の x 軸に沿って ベクトルaA を作り、それと同じ長さで向きだけ異なる色々なベクトルとの内積をとってみましょ〜。

 似ているベクトル.gif

 内積の値は cosθ によっているので、たとえば第 1 象限では θ が大きくなるほど内積は小さくなります。つまり ベクトルaB と近い方向を向いているベクトルとの内積は値が大きくなります。方向が直角 (π/2) に近くなるにつれて、その値はどんどん小さくなります(直角では 0 です)。そして θ が π/2 を超えると値が負になってしまいます。

 つまり内積とは「お互いが同じような方向を向いているかどうか」、「似ているかどうか」という目安になるのです。このイメージはとても大切で、実は関数もまた無限の成分をもつベクトルと考えることができて、異なる関数同士の内積をとってみると「お互いが似ているかどうか」ということを調べることができるのです。

 これを人間関係でたとえると、趣味や価値観が似ている者同士は仲良くなって話も盛り上がるけど〜、正反対の考え方をする(負の内積をもつ)人同士だと、もう一生分かりあえないってかんじね〜。え? 変なたとえ? そうですかね? 次回は内積と直角についてお話しましょ〜。またね〜。

  ≫ 2 つのベクトルが直角ならば内積は 0 ですよ〜
 
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