Excel VBA　数学実験室

≫ [Amazon 書籍] 数学セミナー 2017年 09 月号

問題 78 [難易度：高校２年 ★★☆☆☆]

　次のような漸化式で定義される数列を考えます。


　この数列が周期 5 で循環するための条件を求めてください。

[ヒント] 数列が（いくつかの例外を除いて）初期値によらず一定周期で循環することを「大域的周期性をもつ」といいます。上の数列はほとんどのケースで周期 5 をもつのですが、いくつか例外があるので、それを見つけてくださいという問題です。

［参考］ 『ひとけたの数に魅せられて』（チャンバーランド／岩波書店）

問題 78 の解答

　初期値 x₁ と x₂ を使って数列を順に並べてみると


となって周期 5 の数列であることがわかります。しかしこの数列を作るときは 2 つ前の項で割るので、どこかに 0 である項が１つでも含まれていると、この数列は循環しません。よって求める条件は


となります。