問題77 バクテリアが 2 個になっている確率 [高１★★☆☆☆]
1 個のバクテリアが 10 分後に 2 個に増えている確率、1 個のままでいる確率、死んでしまう確率がそれぞれ 1/3 であるとします。バクテリアが 20 分後に 2 個になっている確率を求めてください。[ヒント] 時間の経過を丁寧に追いましょう。
問題 77 の解答
まずは状況を図で表してみます。
分かりやすいように、最初からいたバクテリアを赤で、増えたバクテリアを青で表しています。20 分後 (T = 20) で 2 つになっているということは 10 分後の段階 (T = 10) で 1 個か 2 個であるケースが考えられます（死んでしまったバクテリアは増えません）。それぞれの確率は 1/3 ですね。
[Case A] T = 10 のとき 1 個だった場合
このケースでは、元のバクテリアが増える場合のみ 2 個になるので、その確率は 1/3 です。T = 0 からこの状態にいたる確率は 1/3 × 1/3 = 1/9 です。
[Case B] T = 10 のとき 2 個だった場合
このケースは少し複雑で、ここから 2 個になるのは
① 青いバクテリアが死んで赤いバクテリアが増える
② 赤いバクテリアが死んで青いバクテリアが増える
③ 赤も青もそのままである
という 3 つの場合が考えられます。それぞれの確率は 1/9 で、3 通りを合わせて 1/3 ですね。T = 0 からこの状態にいたる確率は 1/3 × 1/3 = 1/9 です。
以上より Case A と Case B の確率を足し合わせて
1/9 + 1/9 = 2/9
が答えとなります。
