2017年05月26日

10 本の線分で円を切り分けます

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問題72 10 本の線分で円を切り分けます [中2★★☆☆☆]

 図のように円を線分で切り分けていきます。

 円の分割.gif

 ただし、線分を引くときは毎回その分割数が最大になるようにします。
 10 本目の線分で円はいくつに切り分けられますか?

[ヒント] ひたすら線を引いて解くこともできますが、数えるのは大変です。
    できることなら規則性を見つけて計算で解いてください。
 

問題 72 の解答

 線分と分割数には簡単な対応関係があります。
 3 本目の線(青い線)を引いてみると ......

 円を青い線分で分割.gif

 着目すべきは青い線分がもともとあった赤い 2 本の線で 3 つに分割されるということです。そしてこの線分の分割数はそのまま、新しく増える領域数(黄色い部分)に対応していることがわかります。だから 3 回目に引いたときに増える領域は + 3 なので 7 つになります。これを繰り返すと

 4 本目の線を引くと、4 つ増えて 11 に分割されます。
 5 本目の線を引くと、5 つ増えて 16 に分割されます。

 というように回数をそのまま足していけばいいので、10 本目を引いたときにできる領域数は 

16 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 56

となります。一般的には k + 1 本の線を引いたときの領域数 f(k+1) は

f(k+1) = f(k) + k + 1

で与えられます。つまり

f(k+1) - f(k) = k + 1

で表される階差数列になっています。この漸化式の扱いを知っているならば、

円の分割数を求めます

というように一般的な式をつくって n = 10 を入れると f(10) = 56 が得られます。でも 10 本ぐらいなら普通に足し算したほうが早いです。
 
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