2017年05月18日

a + bc = 23, ab + c = 19 を満たす正整数の組

 ≫ 姉妹サイトに整数問題がたくさん揃っています!

 またしばらく問題を載せようと思います。
 久しぶりなので、やさしい整数問題でウォーミングアップしましょう。
 中学生の皆さんも挑戦してください。

問題68 正整数の組を求めます [中3★★☆☆☆]

 a + bc = 23, ab + c = 19 を満たす正の整数の組 (a, b, c) をすべて求めてください。

[ヒント] 2 つの式を 1 つにします。
 

問題 68 の解答

 2つの式の差をとると

a + bc - (ab + c) = 4

 左辺を b - 1 でくくると

(c - a)(b - 1) = 4

という式になります。 b は正の整数ですから b - 1 は 0 以上の整数ですが、もちろん b - 1 = 0 ということはありえないので、やっぱり正の整数です。すなわち

(c - a, b - 1) = (1, 4), (2, 2), (4, 1)

が答えの候補となります。あとは問題で与えられた a + bc = 23 の式を使いながら順にチェックしていきます。

(A) c - a = 1, b = 5 のとき、a + 5c = 23 より

(a, b, c) = (3, 5, 4)

と定まります。

(B) c - a = 2, b = 2 のとき、a + 3c = 23 より c = 25/4 となって整数にならないので不適です。

(C) c - a = 4, b = 2 のとき、a + 2c = 23 より

(a, b, c) = (5, 2, 9)

が得られます。

 以上より答えは (a, b, c) = (3, 5, 4), (5, 2, 9) の2組です。
 
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