2017年02月11日

簡単な規則で分数が並んでいます

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 今回もまたまた数列クイズ。じっと睨んで規則性を見つけてみましょう。

問題61 簡単な規則で分数が並んでいます [中2★★☆☆☆]

 第1項を 0, 第2項を 1 と定め、
 続く第3項からある一定の規則で次のように数が並んでいます。

0, 1, 1/2, 3/4, 5/8, □, 21/32, 43/64, ...

 □ に入る数字を当ててください。

[ヒント] 答えを聞くと「なーんだ」と思うような簡単な規則で並んでいます。
    あまり難しく考え過ぎないでください。
 

問題 61 の解答

 この数列の各項は前の2つの項の平均をとっています。
 第3項から丁寧に確認してみると

  第3項 (0 + 1)/2 = 1/2
  第4項 (1 + 1/2)/2 = 3/4
  第5項 (1/2 + 3/4)/2 = 5/8

となっています。よって □ に入る数は

  第6項 (3/4 + 5/8)/2 = 11/16

となります。残りの項も確認しておきましょう。

  第7項 (5/8 + 11/16)/2 = 21/32
  第8項 (11/16 + 21/32)/2 = 43/64

 漸化式で表すと

an+2 = (an+1 + an)/2

という数列です。エクセルでこの数列を描いてみると

 平均数列.gif

 横軸が n で縦軸が an です。
 一定の値(0.667)に収束していく様子がわかりますね。
 
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