2017年01月29日

周期的な結節点 (crunode) をもつグラフ

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周期的な結節点 (crunode) をもったグラフを作ります

 今回は

exp(−x2) + exp(y2) = a  [1]

という方程式を扱います。y = f(x) の形で表すと

expx2+expy2多価関数

という多価関数です。ここで平方根の中身が常に正となるように a の範囲を定めておくことにします。すなわち

log [a − exp(−x2)] ≧ 0

となるのは、

a − exp(−x2) ≧ 1

のときです。少し整理すると

a ≧ exp(−x2) + 1

です。exp(−x2) の最大値は 1 なので、

a ≧ 2

と定めておくと、全実数で定義される関数となります。

 それでは a = 3.0, 2.5, 2.0 のグラフを描いてみます。

 2 価の関数exp(-x^2)+exp(y^2)=2.gif

 2 価の関数です。 a の値が小さくなるにしたがって、2つの曲線は原点に向けて凹んでゆき、a = 2.0 では原点で交差します。 [2] に三角関数を掛けて

expx2+expy2三角関数組込

という関数をつくってみると ......

 exp(-x^2)+exp(y^2)=2三角関数組込.gif

 このように 周期的な結節点 (crunode) をもったグラフ になります。
 
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