2016年11月24日

x^3+y^3=1 のグラフ( x = 0 と x = 1 に注意です)

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問題57 x^3+y^3=1 のグラフ [高3★★★☆☆]

 x3 + y3 = 1 のグラフの概形を描いてください。

[ヒント] 一見して簡単に見えますけど、イメージの掴みにくい関数です。
     x = 0 と x = 1 がどのような点になっているかを見極めることがポイントです。
 
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解答57(方程式を変形せずに両辺を x で微分しましょう)

 まずはこの関数がどの点を通るのかを簡単に調べておくと全体像を掴みやすくなります。明らかに (1, 0), (0, 1) を通りますね。また y = x = a とおくことによって、2 a3 = 1 から

x^3+y^3=1が通る点

という点を通ることがわかります。次に微分してみますが、こういう形の関数を微分するときは、方程式を変形せずに、そのまま両辺を x で微分すると簡単です。与えられた方程式を微分すると

両辺を微分

となるので y ≠ 0 のとき

1階微分

が得られます。 x2 も y2 も正ですから、y' は常に負であること、つまり単調減少関数であることがわかります。また y" = 0 より x = 0 で傾きは 0 となります。また y = 0 のときは導関数の表式を求めることができませんが、極限をとることによって、点 (1, 0) におけるグラフの様子を知ることができます。

1次導関数の極限

ですから、この点でグラフは垂直に落ちて行くことがわかります。あとは左上から右下まで単調減少するように点をつなげばいいのですが、どういうカーブを描くのかという情報が足りません。2階導関数を調べてみましょう。(1) の両辺をさらに微分すると

両辺2階微分

となり、y' = − x2 / y2 を代入して整理すると y ≠ 0 の場合に

2階微分

を得ることができます。2次導関数は象限によって符号を変えることになります。
 ここまでの情報を整理して増減表の代わりにイメージ図を描いてみると ......

 途中のイメージ図.gif

 このような感じになります。
 最後にこれをきれいにつないで ......

 x^3+y^3=1.gif

 グラフの完成です!
 
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