2016年11月22日

逆三角関数の半角公式

 久しぶりに「なんとなくの数学日記」を書きました!

 大学初年度に学ぶ微積で逆三角関数が登場しますが、使い慣れるまでには練習が必要です。今回は高校で学んだ三角関数と絡めた基礎問題を出題します。逆関数の意味さえ理解していれば、高校生でも解くことはできるので、ぜひ果敢に挑戦してみてください。

問題56 逆三角関数の半角公式 [大学1★★☆☆☆]

 y = sinx と y = tanx の逆関数は
 
逆三角関数

によって定義されます。半角の公式

逆三角関数の半角公式

が成り立つことを証明してください。

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解答 56

 問題の公式において x = sinθ とおいてみると、右辺の形が

右辺の式

という形になっていることに気づきます。そこで半角の公式を使って計算してみると、

タンジェントの半角公式

という形の半角公式を得ることができます。最初からこの公式を覚えていれば、ここから解き始めればいいのですが、おそらくこの参考書にもあまり載っていないのではないかと思います(上記のように導出はやさしいです)。改めて上の式で x = sinθ とおくと、

タンジェントの半角公式2

となります。両辺の Arctan をとると

両辺のアークタンジェント

ですね。さらに両辺に 2 をかけて

両辺のアークタンジェント2

の形に変えます。 x = sinθ は θ = Arcsinx と書けるので、

半角公式

を得ることができます。
 
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