2016年10月17日

変数分離するために工夫します

≫ [おすすめ書籍広告] 合格る計算 数学I・A・II・B(シグマベスト)

問題52 変数分離するために工夫します [大学1★★☆☆☆]

 次のような微分方程式を考えます。

微分方程式52

(1) 微分方程式の一般解を求めてください。
(2) 初期条件 y(1) = 0 をみたす解はどのような概形を描きますか。

[ヒント] 今回も変数分離形ですが、そのままでは変数を分離することができないので、ちょっとした工夫が必要になります。 解については、わざわざグラフを描かなくても誰もがよく知る形となっています。
 
≫ [おすすめ数学書籍広告] 理論×実践で追究する! 数学の「よい授業」

解答52(u = y / x とおきます)


 こういう形の微分方程式は u = y / x とおくのが定石です。

(1) u = y / x とおくと y = x u ですから

変数変換

となるので、微分方程式に代入すると

微分方程式1

となります。少し整理して変数を分離すると

微分方程式2   [*]

となります。ここで

微分方程式3

ですから、[*] の両辺を積分して変形していくと

微分方程式4

となります。ここで |x| の絶対値を外し、その符号も任意定数にまとめて含めるようにすると

微分方程式の解a

となります。

(2) (1) の結果に x = 1, y = 0 を代入すると A = 1 となるので

微分方程式の解b

となり、これは点 (1/2, 0) を中心とする半径 1/2 の円です。
 
この記事へのコメント
コメントを書く

お名前:

メールアドレス:


ホームページアドレス:

コメント:

※ブログオーナーが承認したコメントのみ表示されます。

この記事へのトラックバックURL
http://fanblogs.jp/tb/5540906
※ブログオーナーが承認したトラックバックのみ表示されます。

この記事へのトラックバック
検索
Excel VBA 数学教室
数学問題集(解答付き)
こばとの数学基礎講座
下剋上算数
ベクトル解析
サッカーマティクス
Excelで学ぶ統計解析
和算的思考力
学び直し
整数論の理論と演習
大人が手こずる算数
東大生の知恵袋
フーリエ変換
インド式秒算術
Excelで学ぶ微分積分
Excel 数学シミュレーション
オイラーの贈物


ファン
最新記事
カテゴリーアーカイブ