2016年10月16日

変数分離して微分方程式を解きます

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 今回も微分方程式です。基本的な変数分離形で解きます。

問題51 変数分離して微分方程式を解きます [高3★★☆☆☆]

 次のような微分方程式を考えます。


(1) y(0) = 0 を満たす解を求めてください。
(2) y(0) = 2 を満たす解を求めてください。
(3) (1) と (2) のグラフの概形を描いてください。

[ヒント] 片方のグラフを描けば、もう1つは「折り返し」や「平行移動」で描くことができます。
 
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解答51(変数分離します)

 まず変数分離して積分して一般解を得ます。

変数分離系の微分方程式

 最後に A = ±eC と任意定数を置き直しています。

(1) y(0) = 1 + A = 0 なので A = −1
  この解を y = f(x) とおくと、

微分方程式の解1

となります。
(2) y(0) = 1 + A = 2 なので A = 1
  この解を y = g(x) とおくと、

微分方程式の解2

となります。

(3) y = f(x) を微分すると

f(x)の微分

 f'(x) = 0 となるのは x = 0 。
 f'(−1) < 0, f'(1) > 0 なので f(0) は極小値です。
 さらに y(−∞) = 1, y(+∞) = 1 です。

 また g(x) = −f(x) + 2 ですから、f(x) のグラフを x 軸で上下折り返して y 軸方向に 2 を加えればよいことがわかります。以上より、グラフの概形はまとめて次のようになります。

 変数分離微分方程式.gif

 ちなみに A = 0 のとき、すなわち y = 1 も解曲線の1つであり、微分方程式を満たしていることがわかります。
 
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