今回は微分方程式です。大学で扱う内容ですが、誘導形式にしてあるので、高校生でも解けるようになっています。
問題50 微分方程式を定数変化法で解きます [高３★★☆☆☆]
次のような微分方程式を考えます。(1) y = e λx とおいて微分方程式に代入し、 λ を求めてください。
(2) (1) で求めた λ を用いて y = f(x) e λx とおいて方程式の一般解を求めてください。
(3) y(0) = 1, y'(0) = 0 という初期条件を満たす解を求め、グラフを描いてください。
[ヒント] 2 階線型微分方程式ですから、一般解には 2 つの任意定数が含まれます。
≫ [おすすめ書籍広告] 数学小景（岩波現代文庫）
解答50
(1) y = eλx とおくと、y' = λ eλx, y'' = λ2 eλx
となるので、微分方程式に代入すると
(λ2 + 2 λ + 1) eλx = 0
となります。 eλx ＞ 0 ですから、
λ2 + 2 λ + 1 = 0 ∴λ = −1
となります。
(2) (1) の結果から、 y = f(x)e−x とおいて微分方程式に代入して整理すると、
f''(x) e−x = 0
となります。よって f''(x) = 0 ですから、１度積分すると
f'(x) = B (B は任意定数)
となり、もう１度積分すると
f''(x) = A + B x （A, B は任意定数）
となります。よって一般解は
y = (A + B x) e−x
となります。
(3) 一般解に条件を代入するだけです。 y(0) = 1 より A = 1 が決まって
y = (1 + B x) e−x
となり、微分すると
y' = (B −1 − B x) e−x
となります。さらに y'(0) = 0 より B = 1 が決まるので、求める解は
y = (1 + x) e−x
となります。最後にグラフを描くための情報を揃えておきます。
y(＋∞) = 0, y(−∞) = −∞
y' = 0 となるのは x = 0 で、この点で極大値 y(0) = 1
グラフの概形は次のようになります。
[補足] 斉次方程式 (homogeneous equation)
今回扱ったのはy'' + p y' + q y = 0
という 2 階線型微分方程式における斉次方程式とよばれる種類もので、上の問題で与えられた方程式は p2 − 4 q = 0 という、やや特殊な係数関係となっています。 p2 − 4 q ≠ 0 であれば、
y = A eax + B ebx
というような解になり、こちらのほうがよく見る形です。いずれにしても解き方は全く同じですので、気になる人は、たとえば
y'' + y' + y = 0
というような方程式の解を求めてみてください。
