2016年10月10日

サイコロを 4 個振って、最大の目が他の 3 数の和より大きくなる確率

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問題48 サイコロを 4 個振ります [高1★★☆☆☆]

 サイコロを 4 つ振って、出る目の最大値が他の 3 数の和より大きくなる確率を求めてください。

[ヒント] たとえば (2, 6, 2, 1) と出たら最大値 6 は 1 + 2 + 2 = 5 より大きいので、条件をみたしています。こういう出方が何通りあるかを数える問題です。
 
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解答48(最大値 4, 5, 6 の場合を調べます)

 最大値をとったサイコロ以外の数字の和は 3 以上の値をとるので、最大値が 4, 5, 6 の場合を調べればよいことがわかります。分かりやすいようにサイコロを (A, B, C, D) と区別して考えてみます。

@ 最大値が 4 の場合の1例は

(A, B, C, D) = (4, 1, 1, 1)

 この 4 は B, C, D のいずれであってもいいので、 4 通りとなります。

A 最大値が 5 の場合を考えると、組合せの1つとして

(A, B, C, D) = (5, 1, 1, 1)

が考えられます。この並び替えも先程と同じく 4 通りです。もう1つ、

(A, B, C, D) = (5, 2, 1, 1)

という組合せがあります。次のように

(A, B, C, D) = (□, □, □, □)

と空白にして、まず 5 を入れる場所の選び方が 4 通り、残ったところから 2 を入れる場所の選び方が 3 通りなので、 4・3 = 12 通りです。よって最大値が 5 となる場合の数は、先ほどの 4 通りと合わせて 16 通りとなります。

B 最大値が 6 となる場合も同じように、それぞれの並び替え方は

(6, 1, 1, 1)   4 通り
(6, 2, 1, 1)  12 通り
(6, 2, 2, 1)  12 通り
(6, 3, 1, 1)  12 通り

となるので、合計 40 通りです。

 サイコロを 4 個振った場合の数の出方は 64 ですから、求める確率は

(4 + 16 + 40) / 64 = 5 / 108

となります。
 
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