2016年10月08日

sqrt(n^2+1) が無理数であることの証明

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問題47 sqrt(n^2+1) が無理数であることの証明 [高1★★☆☆☆]

 n を正の整数とするとき、無理数 が無理数であることを示してください。

[ヒント] この種の証明で定番の方法がありますね。
 

問題47(背理法が定番です)

 背理法を用います。 無理数証明D が有理数であると仮定すると互いに素な数 p と q を用いて

無理数の証明

と表せるはずです。両辺を 2 乗して

両辺を2乗

q2 は p で割り切れないので

無理数証明@

とおいて代入して整理すると

無理数証明A

となります。よって k = 1 となり、

無理数証明C

 しかし、n は正の整数であるはずなので、これは矛盾します。
 よって 無理数証明D は無理数です。(証明終わり)
 
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