2016年10月06日

面積が等しくなるように半円を回転させて回転角を求めます

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問題46 半円を回転させて回転角を求めます [中2★☆☆☆☆]

 下図のように半径 r の半円を P を中心に回転させます。
 面積 S と T が等しいとき、回転角 x は何度になりますか?

 半円を回転.gif

[ヒント] 中学生用の図形問題です。たまにはこういう問題で息抜きしましょう。何か等しいものを適当に作って方程式を立てます。

 息抜き用にと思って簡単な問題にしてみたら、アクセス数が落ちましたよ ......
 やっぱり中学生の読者はいないのかな。まあ、それはともかく解答です。
 

解答46(扇形のようにみえるけど ... )

 下図のように点 A, B, C をとり、何となく扇形に見える(でも違いますよ)PAC の面積を U とします。

 半円を回転解答図.gif

 面積 S と T が等しいので、

S + U = T + U

が成り立ちます。 S + U は半円の面積ですから、

S + U = πr2 / 2

となります。 T + U は半径 2 r の扇形の面積ですから

T + U = π(2 r)2 (x / 360°) = xπr2 / 90°

です。よって、

π r2 / 2 = xπr2 / 90°

とおいて、

x = 45°

になります。
 
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