2016年09月23日

ギザの大ピラミッドが地面につくる影の面積

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問題41 ギザの大ピラミッドがつくる影の面積 [高2★★☆☆☆]

 図のように水平な地面の上に底面の1辺の長さが 2 a 、高さが b のピラミッド(四角錐) A - B C D E があり、ちょうど A B E 面が太陽に照らされているとします。地面から測った太陽の角度を θ とします。

ピラミッドの影の作る面積4.gif

(1) ピラミッドがつくる影の面積 S(θ) を求めてください。
  また、 θ のとりうる範囲も明示してください。

(2) ギザにあるクフ王のピラミッドは、底面の1辺の長さが約 230 m、高さが約 140 m あります。冬至の日の正午における太陽高度を約 37°と考えて、ピラミッドのつくる影の面積を求めてください。計算には tan37°= 0.754 を用いて、得られた数値の小数点以下を四捨五入して解答してください。

[ヒント] 三角比の基本的な知識を問う問題です。
 
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解答41(断面図を描いてみます)

(1) 下図のように CD の中点 M をとって断面図を切り出します。

 ピラミッドの影の作る面積説明図.gif

 すると θ と a, b および影の高さ h との関係が

b = (a + h) tanθ

であることがわかるので

h = (b / tanθ) − a   [*]

となります。影の底辺の長さは 2 a ですから、影の面積は

S = (2 a) h / 2 = a h = (a b / tanθ) − a2

となります。

 次に θ の範囲を考えます。 0 < θ は明らかですが上限もあります。影が存在するには h > 0 となる必要があります(あまり太陽の高度が高いと影ができません)。そこで h = 0 となる角度を調べるために [*] の右辺を 0 とおいて

tanθ = b / a

となります。この式を満たす θ を θ = α とおけば、

0 < θ < α

が θ のとりうる範囲となります。

(2) (1) の結果に具体的な数値を入れて計算します。
 a = 115, b = 140, θ = 37°ですから

  S(37°) = (115・140) / tan37°− 1152 = 8127.8 = 8128 m2

が答えとなります! さすがピラミッド、影も巨大ですねー!

[補足] ちなみに冬至のときの太陽の南中高度は

90° − 北緯 − 23.4°

によって計算できます。ギザの北緯は 30°ですから、

90° − 30° − 23.4° = 36.6°

が正確な南中高度となります。気になる人はこちらの値でも計算してみてください。

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