2016年09月05日

サイコロで2次方程式の係数を決めます

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問題34 サイコロで2次方程式の係数を決めます [高2★★☆☆☆]

 1 個のサイコロを続けて 3 回振って出た目の数を順に a, b, c とします。
 このとき 2 次方程式

x2 + (a + b) x + c = 0

が実数解をもつ確率を求めてください。

[ヒント] 確率と 2 次方程式が組み合わされた問題です。
     2 次方程式とくれば、もちろん「あの式」を使うわけです。
 ≫ こばとの英語ノート「池袋の妖精さん」

解答34(実数解をもつ条件ではなく ... )

 もちろん「判別式」を使うのですが ......
 素直に考えると方程式が実数解をもつことの条件は

D = (a + b)2 − 4 c ≧ 0

ですから、a, b, c を定める条件は

a + b ≧ 2 √c

となってしまいます。これではとても絞り込めそうにありません。「不等号の向きが逆だったらいいのになー」と思ってしまいますね。「ん? 逆? 逆にするなら ...... 」と考えて、方程式が実数解ではなく虚数解をもつ確率を求めて、あとで 1 から引けばよいということに気づきます。さっそく条件を書き直して

D = (a + b)2 − 4 c < 0 ⇔ a + b < 2 √c

 これなら何とかなりそうです。丁寧に c = 1 から 6 まで調べていきましょう。
 √2 = 1.414, √3 = 1.732, √5 = 2.236, √6 = 2.449 を使います。

・c = 1 のとき a + b < 2
 a, b ≧ 1 ですから、この条件を満たす (a, b) は存在しません。

・c = 2 のとき a + b ≦ 2
 (a, b) = (1, 1) の 1 個

・c = 3 のとき a + b ≦ 3
 (a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1) の 3 個

・c = 4 のとき a + b < 4
 (a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1) の 3 個

・c = 5 のとき a + b ≦ 4
 (a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (1,3), (3, 1) の 6 個

・c = 6 のとき a + b ≦ 4
 (a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (1,3), (3, 1) の 6 個

 したがって、虚数解をもつ (a, b) の組合せは全部で 19 個です。
 サイコロ 3 つを振ったときの目の出方は

6 × 6 × 6 = 216 通り

ですから、方程式が虚数解をもつ確率は

19 / 216

です。よって方程式が実数解をもつ確率は

1 − 19 / 216 = 197 / 216

となります。
 
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