2016年09月02日

「あとりえこばと出版」の地下書庫を整理しましょう!

≫ [Amazon数学書籍] 古風堂々数学者(新潮文庫)

問題33 地下書庫を整理しましょう! [中3★★★☆☆]

 謎の AI (?) こばとちゃんが経営する『あとりえこばと出版』の地下には、貴重な資料が保管されている書庫があります。ある日、社員の真理子さんは、別の社員の涼音さんに書庫に収められた書籍の分類・整理をするように頼みました。真理子さんと涼音さんが共同で作業を行った場合と比較して、ベテランの真理子さんだけで作業した場合は 25 日遅れ、涼音さんだけで作業した場合は 36 日遅れます。涼音さんは何日で作業を終えることができますか。

[ヒント] いわゆる「仕事算」に属する問題です。中学生の知識で解けますが、慣れていないとけっこう難しいですよ。解き方は少なくとも 2 通りあります。
 
≫ [Amazon数学書籍] 心は孤独な数学者(新潮文庫)

解答33 @ (1 日あたりの仕事量を 1 とおいて ... )

 まずはオーソドックスに方程式で解く方法から。
 全体の仕事量を 1 とします。仕事を終えるまでの日数を、真理子さん 1 人で作業した場合を a, 涼音さん1人で作業した場合を b とおきます。すると共同で作業した場合の 1 日あたりの仕事量は

1 / a + 1 / b = (a + b) / (a b)

と表せます。共同作業で仕事を終えるまでの日数は、この逆数をとって

a b / (a + b)

となります。真理子さんだけで作業した場合は 25 日遅れるのですから、

a − a b / (a + b) = 25   [1]

という方程式が成り立ちます。同様に涼音さんだけで作業した場合は 36 日遅れるので、

b − a b / (a + b) = 36   [2]

が成り立ちます。[1] − [2] より

a − b = − 11   ∴ a = b − 11

 これを [1] に代入して整理すると b の 2 次方程式が得られます。

b2 − 72 b + 396 = 0

 これを解いて b = 6 と 66 を得ますが、題意から明らかに

b = 66 日

が正解となります。

解答33 A(ダイヤグラムを描きます)

 よりスマートは解法があります。
 横軸に日数、縦軸に仕事量をとったダイヤグラムを描きます。

 仕事ダイヤグラム.gif

 点 O と 点 M を結んだ線分が真理子さんの仕事進行線、点 P と 点 S を結んだ線分が涼音さんの仕事進行線です。この 2 本の線が交わる点から垂線を下した点 A と 点 O を結んだ x = OA の長さが共同作業で仕事を終える日数です。図より △OQS と △PQM は相似ですから、

x:25 = 36:x

が成り立ちます。よって

x2 = 900   ∴ x = 30

となるので、涼音さんが作業にかかる時間は図より

30 + 36 = 66 日

となります。

 明らかに図形を使ったほうが簡単ですね。小学校で習う比の使い方は色々な問題で役立ちますので、時々は「この問題は比を使って解けないかな?」と柔軟に視点を変えてみることも大事です。算数には本当にたくさんの「数学的センス」が詰まっているのです。
 
この記事へのコメント
コメントを書く

お名前:

メールアドレス:


ホームページアドレス:

コメント:

※ブログオーナーが承認したコメントのみ表示されます。

この記事へのトラックバックURL
http://fanblogs.jp/tb/5385695
※ブログオーナーが承認したトラックバックのみ表示されます。

この記事へのトラックバック
検索
Excel VBA 数学教室
数学問題集(解答付き)
こばとの数学基礎講座
下剋上算数
ベクトル解析
サッカーマティクス
Excelで学ぶ統計解析
和算的思考力
学び直し
整数論の理論と演習
大人が手こずる算数
東大生の知恵袋
フーリエ変換
インド式秒算術
Excelで学ぶ微分積分
Excel 数学シミュレーション
オイラーの贈物


ファン
最新記事
カテゴリーアーカイブ