2016年08月27日

正三角形と内接する円の面積比

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 またしばらく問題を載せることにします。なるべく幅広い分野から出題するようにします。おそらく 10 問ぐらい(問題 40 まで)続くと思いますので、チャレンジしてみてください。

問題31 正三角形と内接する円の面積比 [高1年★★☆☆☆]

 ある正三角形の面積を St 、この正三角形に内接する円の面積を Sc とします。
 面積比 St / Sc を求めてください。

小説も書いています

 少しずつではありますけれど、『言葉の工房あとりえこばと』に短編を溜めています。興味のある方は読んでみてください。今回紹介するのは 『シンデレラこばとちゃん』 です。ギャグなので笑ってもらえると嬉しいです。
 
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 図のように正三角形の辺の長さを x, 内接円の半径を r とおきます。

 正三角形に内接する円.gif

解答31 @(内接円の半径の公式を用います)


 内接円の半径の公式を使ってみます。

 各辺が a, b, c の長さをもつ三角形の面積と、内接する円の半径 r の関係は

St = (a + b + c) r / 2

です。今は正三角形なので、辺の長さを x とおくと

St = 3 r x / 2

となりますね。一方で内接円の面積は

Sc = πr2

ですから、比をとると

St / Sc = 3(x / 2) / (πr)

となります。なので x / 2 と r の比がわかればよいのですが、図にある角度 60 ° の直角三角形から

(x / 2) / r = √3

です。よって、

St / Sc = 3√3 / π

が答えとなります。ちなみに具体的に計算すると、

St / Sc = ≒ 1.65

です。

解答31 A(内接円の半径の公式を用いない場合)

 公式を知らない場合は、角度 60 ° の直角三角形から

x = 2√3 r

の関係を先に求めます。正三角形の面積は

St = (x2 / 2) sin60° = (√3 / 4) x2

ですから、x を r に変えると

St = 3√3 r2

となります。Sc = πr2 との比をとって

St / Sc = 3√3 / π

が答えとなります。

 内接円の半径の公式を知っていても知らなくても、この問題に関してはさほど手間は変わりませんけど、色々な問題で応用できる公式なので、ぜひ覚えておいてください。
 
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