2016年07月17日

2次元等差数列(タテ、ヨコ、ナナメ、どこをとっても等差数列です)

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問題30 2次元等差数列 [高2★★★☆☆]

 図のように最初の行に初項 1, 公差 2 の等差数列を横に並べ、この数列の各項を初項とする公差 3 の等差数列を縦に並べます。

 2次元等差数列.gif

(1) 第 mn 列の一般項 amn を求めてください。
(2) 第 1 行 1 列から第 kl 列までにある全てのマス目の総和 Skl を求めてください。またその表式を用いて S33 と S55 を計算してください。

[ヒント] たとえば S33 は下図の赤い部分の総和を求めてくださいということです。

 2次元等差数列総和.gif

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解答30

(1) まず第 1 行の数列 a1n を等差数列の公式を使って求めます:

a1n = 1 + 2 (n −1) = 2 n −1

 この各項が縦に並ぶ公差 3 の等差数列の初項となるのですから、第 mn 列を表す一般項は

amn = 2 n −1 + 3 (m −1) = 3 m + 2n − 4

となります。

(2) 2 重和をとる問題です。図を参照してください。

 2次元等差数列の和の説明.gif

 まず n 列に着目して縦方向に 1 〜 k 行まで和を取ります。

2次元等差数列@列の和


 次にこの式を 1 から l 行まで和をとると総和が得られます。

2次元等差数列A総和


 上式に k = l = 3, k = l = 5 を代入して

S33 = 54, S55 = 275

となります。
 
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