2016年07月11日

複素数を公比とする数列の第 n 項までの和を求めます

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問題28 複素数を公比とする数列 [高3★★☆☆☆]

(1) 初項が 1 で、複素数 z を公比とする等比数列の第 n 項までの和を求めてください。ただし z ≠ 1 とします。
(2) 初項 1, 公比 1 + i の等比数列の第 n 項までの和 Sn を求め、 S8 を計算してください。

[ヒント] 複素数とはいっても、普通に計算すればよいのです。
  
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解答28(差をつくります)

(1) 実数のときと同じ手順で求めます。

Sn = 1 + z + z2 + ...... + zn − 1   [1]

の両辺に z を掛けて

z Sn = z + z2 + z3 + ...... + zn − 1 + zn   [2]

[1] − [2] をつくると

(1 − z) Sn = 1 − zn

となるので、


が得られます。

(2) 1 + i を極形式に書き直します。

z = 1 + i = √2 exp[i(π/4)]

これを [3] に入れて計算すると


 n = 8 を代入すると

S8 = −15 i

となります。

理系英単語M 数列


 sequence/progression 数列
 harmonic sequence 調和数列
 arithmetic sequence 等差数列
 geometric sequence 等比数列(幾何級数)
 infinite sequence 無限数列
 finite sequence 有限数列
 Fibonacci sequence フィボナッチ数列
 progression of differences 階差数列
 infinite series 無限級数
 geometric series 無限等比級数
 alternating series 交代級数
 partial sum 部分和
 bounded 有界な
 upper bound/lower bound 上界/下界

 フィボナッチ数列(Fibonacci sequence)とは「初項と第 2 項が 1, 1 で第 3 項以降は前の 2 項を足し合わせた数字にする」という規則で並べられる数列です:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ......

 イタリアの数学者フィボナッチさんによって研究されたので、この名前がついていますが、フィボナッチは本名ではなく filius Bonacchi(ボナッチさんの息子)という呼び名です。 Leonardo de Pisa とも呼ばれます。これは「ピサで生まれたレオナルドさん」という意味で ...... いちおう、本名ということになるんでしょうかね ...... よくわかりません。 12 世紀の人物ですから、今のようにしっかりとした戸籍制度があったわけではありませんし、そのあたりは曖昧です。
 このフィボナッチさん、生まれはイタリアのピサでしたけど、プギアの執政官に任命された父について北アフリカに渡り、その後もエジプト、シリア、ギリシアと色々な場所を旅して見聞を広めたようです。その過程でアラビア記数法を学んで研究を進め、帰国して『算盤書』という書籍を出版しました。この本をもとに、近代ヨーロッパでアラビア式の数字の使用が広まっていったそうです。
 
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