2016年07月10日

整数と順列の問題(abcd = a + b + c + d を満たす正整数は何通り?)

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 順列の計算法を知らなくても解けますが、ちょっと大変です。

問題27 整数と順列の問題 [高1★★☆☆☆]

 abcd = a + b + c + d を満たす正の整数 (a, b, c, d) の組合せは何通りありますか?

[ヒント] 整数問題ですが全ての組を求めよとは言っていません。まずある仮定のもとに 1 組の (a, b, c, d) を求めて、そのあと順列の計算に持ち込みます。
 
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解答27(まず順番を固定します)

 問題で与えられた式

abcd = a + b + c + d   [1]

は a, b, c, d について対称ですから順番を固定することにします。すなわち、

1 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ d   [2]

と仮定して解を制限します。すると [1] より

abcd ≦ 4d  ∴ abc ≦ 4   [3]

となって a, b, c は 4 以下の整数に制限されます。ここで a ≧ 2 とすると、

abc ≧ 23 = 8

となって条件 [3] を満たしません。ゆえに a = 1 と決まり、

bc ≦ 4   [4]

(@) (a, b) = (1, 1) のとき [1] は

cd = 2 + c + d ⇔ (c − 1)(d − 1) = 3

  c ≦ d ですから、(c, d) = (2, 4) と決まります。

(A) (a, b) = (1, 2) のとき [1] は

2cd = 3 + c + d ⇔ (2c − 1)(2d − 1) = 7 ∴ (c, d) = (1, 4)

  となりますが、c ≧ b = 2 なので適しません。

 以上より、1 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ d という条件下ならば

(a, b, c, d) = (1, 1, 2, 4)

と定まります。ここで順序の条件を解除すると、 (a, b, c, d) は (1, 1, 2, 4) を並び替えによって得られますから、

(□, □, □, □)

に 1, 1, 2, 4 を並べる順列となります。 2 つの 1 を区別して

1a, 1b, 2, 4

を並べる方法は 4! ですが、区別をなくすと、たとえば、

2, 1a, 4, 1b

2, 1b, 4, 1a

については同じ並び方とみなされます。したがって 2 で割って

4!/2 = 12 通り

が答えとなります。

自分で条件を設定します

 整数問題で何から手をつけて分からないときは、自分で勝手に条件をつけて範囲を絞ってみるのも1つの手です。それで必ず解けるという保証はありませんが、条件つきで式をいじっているうちに、問題が何を問うているのか見えてくることもあります。とにかく整数問題はあれこれ試行錯誤してみることが大切です。
 
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