2016年06月29日

Arcsinx を級数展開して円周率の近似値を求めます

 ≫ [Amazon書籍] Google Cloud Platform(クラウドネイティブアプリケーション構築)

 今回も大学数学が題材ですけど、高校 3 年生の知識で解けるように調整してあります。もちろん大学生の皆さんも挑戦してみてください。

問題22 Arcsinx を級数展開して円周率を求めます [高3★★★☆☆]

 関数 f(x) のマクローリン級数展開は次式で与えられます:

マクローリン級数展開

 逆三角関数 y = Arcsinx は |x| < 1 の範囲で定義され、x = siny を満たします。また積分によって

Arcsinx=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}

と表されます。

(1) f(u) = (1 − u)−1/2 を第 4 項まで級数展開してください。

(2) Arcsinx を第 4 項まで級数展開してください。

(3) (2) で得られた結果を用いて円周率の近似値を求めてください。

 
≫ [Amazon] AWS Lambda(サーバレスを実現するアプリケーションプラットフォーム)

解答22(項別積分によって Arcsinx の級数展開公式を得ます)

(1) f(u) の 3 階微分まで求めておきます。

f(u)3階微分

 f(u) を 4 項まで展開すると、

f(u)展開


(2) (1) で得られた展開式で u = x2 とおくと

x^2展開

 この式を項別積分して Arcsinx の級数展開が得られます:

Arcsinx級数展開


(3) x = 1/2 とおけば、Arcsin(1/2) =π /6 より

円周率近似値

 この式を用いて円周率を計算すると π = 3.141155 という値が得られます。逆三角関数を用いた円周率の計算方法は他にもいくつかあるので、興味のある方は調べてみてください。より技巧的な手法として Arctanx を利用した「マチンの公式」と呼ばれる近似式がありますが、こちらも近いうちに問題で取り扱うことになると思います。
 
この記事へのコメント
コメントを書く

お名前:

メールアドレス:


ホームページアドレス:

コメント:

※ブログオーナーが承認したコメントのみ表示されます。

この記事へのトラックバックURL
http://fanblogs.jp/tb/5202926
※ブログオーナーが承認したトラックバックのみ表示されます。

この記事へのトラックバック
検索
Excel VBA 数学教室
数学問題集(解答付き)
こばとの数学基礎講座
下剋上算数
ベクトル解析
サッカーマティクス
Excelで学ぶ統計解析
和算的思考力
学び直し
整数論の理論と演習
大人が手こずる算数
東大生の知恵袋
フーリエ変換
インド式秒算術
Excelで学ぶ微分積分
Excel 数学シミュレーション
オイラーの贈物


ファン
最新記事
カテゴリーアーカイブ