2016年05月29日

完全数の判定

 その数自身を除く約数の和がその数に等しい とき、その数のことを完全数と呼びます。たとえば 28 の約数は 28 を除くと、1, 2, 4, 7, 14 ですから、

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

となって完全数であることがわかります。これを踏まえて問題に挑戦してください。

問題08 完全数の判定 [高1★★★☆☆]

 496 が完全数であることを示してください。



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解答08(素因数分解します)

 何はともあれ、まずは素因数分解します:

496 = 24 × 31

となりますね。たとえばある1つの約数は

22 × 31 = 124

のように表せるのですが、それを全部求めるのは面倒です(この問題なら、ちょっと頑張ればできますが、もっと大きな数では不可能です)。そこで次のような式を作ってみます:

(1 + 21 + 22 + 23 + 24)(1 + 311)   [*]

 この式を展開すると各項に 1 回ずつ約数が現れますから、1 と 496 自身を含めた全ての約数の和となっていますね。実際に計算すると、

(1 + 2 + 4 + 8 + 16)(1 + 31) = 31 × 32 = 992

となります。496 を引くと

992 − 496 = 496

となって完全数であることが示されました。[*] の計算は等比数列の和の公式を用いて求めることもできます。

理系英単語E 倍数と約数


 multiple 倍数
 divisor 約数
 common multiple 公倍数
 common measure 公約数
 incommensurable 公約数のない
 the least common multiple [LCM] 最小公倍数
 the greatest common measure [GCM] 最大公約数

 答案で最小公倍数や最大公約数て漢字を書くのが面倒なときってないですか?
 LCM や GCM という略号を使うと楽ですよ。ちなみに数論の記号で書くと次のようになります:
  l = {a, b}  a と b の最小公倍数   g = (a, b)  a と b の最大公約数
  
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