2016年05月27日

媒介変数で表された楕円方程式

≫ [Amazon書籍] 数の体系

問題07 媒介変数で表された楕円方程式 [高2★★☆☆☆]

 長径 a, 短径 b の楕円上の動点は媒介変数 θ を用いて

x = acosθ, y = bsinθ

と表されます。座標軸の原点を O 、 楕円上の動点を P(x, y) とします。また P から x 軸に下ろした垂線が x 軸と交わる点を Q とします。この 3 点を結んだ直角三角形 OPQ の面積 S(θ) の最大値を求めてください。また、区間 [0, π] で y = S(θ) のグラフを描いてください。

 楕円内の三角形.gif

 

解答07(絶対値記号を忘れずに!)

 底辺 acosθ, 高さ bsinθの三角形の面積を求めます。
 ただし絶対値を忘れてはいけません。

2S(θ) = ab|cosθsinθ|

 sin2θ = 2cosθsinθ の公式を使って整理すると、

S(θ) = (1/4) ab|sin2θ|

となります。 |sin2θ| の最大値は 1 ですから、 S(θ) の最大値は

ab / 4

となります。グラフを描くときは sin2θ が負になるところは x 軸対称に折り返します:

 y=S(θ).gif

理系英単語D 楕円


 ellipse / oval 楕円
 ellipse focus 焦点
 orbital eccentricity 離心率
 elliptical orbit 楕円軌道
 elliptic function 楕円関数
 elliptic integral 楕円積分
 elliptic paraboloid 楕円放物面

 elliptic integral(楕円積分)は楕円の周の長さを求める式のことです。楕円は面積を求めることは簡単なのですが(置換積分)、周の長さの計算は相当に手強いのです。近いうちにこの問題を扱う予定です。

問題難易度の調整が難しいですね

 ブログというのは幅広い読者層を想定しますから、学習参考書のように「高校3年理系」というようにあまり絞り込み過ぎるとアクセス数がきゅきゅーっと落ちてしまいます。だから記事ごとに難易度にバラつきがあるのはご了承ください。今回はかなり易しい問題です。
 問題作成の基本方針としては、大学で学ぶような内容であっても、なるべく誘導形式にして高校生でも無理なく解けるようにしてあります。なので、ちょっとだけ背伸びして、なるべく多くの問題に挑戦してもらいたいなと思っています。
 それでも一応の目安があったほうが良いと考えまして、今回から対象年齢と難易度(★マーク)を付けておくことにしました。過去記事も順次修正してマークをつけておきます。ちなみに「対象年齢が高い = 難しい」という図式は必ずしも成り立ちません。高2の三角関数に範囲を限定しても、相当に捻ってしまえば、かなり難しい問題を作ることもできます。あまりそういう問題が載ることはないと思いますけど、今後「高校1年 ★★★★★」というような問題が現れたときには、大学生の方もぜひ挑戦してください。
 
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