2016年06月02日

対称 4 次式と 1 の 5 乗根(5 次方程式)

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問題10 対称 4 次式と 1 の 5 乗根 [高1★★★☆☆]


(1) 次のように x2 を中心に係数が対称になっている 4 次式

P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a

について、t = x + 1/x とおくことにより、

P(x) = x2 Q(t)

の形に表せることを示してください。

(2) (1) の結果を用いて

x5 = 1

を解いてください。

[ヒント] 5 次方程式ですから、解は全部で 5 つあります。
 

解答10(4 次方程式に帰着させます)

(1) t = x + 1/x とおくと、t2 = x2 + 2 + 1/x2ですから、P(x) を x2 で括ると

  P(x) = x2(ax2 + bx + c + b/x + a/x2)
     = x2[a(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c]
     = x2[a(t2 − 2) + bt + c]

となって、P(x) = x2Q(t) の形になることが示されました。

(2) x = 1 が解であることは明白ですから、次のように因数分解できます:

(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0

残り 4 つの解を求めるには、次の 4 次方程式を解きます:

x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

これは P(x) において a = b = c = 1 とおいた式ですから、t = x + 1/x として

x2(t2 + t − 1) = 0

と変形できます。そこでまず t についての 2 次方程式

t2 + t − 1 = 0

を解いて、

t = [−1 ± √5] / 2

が得られます。これを x の表式に戻すと、

x + 1/x = [−1 ± √5] / 2

少し整理すると次の 2 つの 2 次方程式が得られます:

x2 + [1 − √5]x / 2 + 1 = 0
x2 + [1 + √5]x / 2 + 1 = 0

解の公式を使ってそれぞれの方程式を解くと、

5次方程式の4解

という 4 つの解が得られます。以上まとめると、x5 − 1 = 0 の解は

5次方程式の解


理系英単語G 方程式その1


 lineqr equation 1 次方程式
 equation of first degree 1 次方程式
 quadratic equation 2 次方程式
 equation of second degree 2 次方程式
 cubic equation 3 次方程式
 equation of third degree 3 次方程式
 transposition 移項
 factorization 因数分解
 extraction of square root 開平


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