2016年05月19日

切り取られた線分の長さを求めます

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問題05 切り取られた線分の長さ [高3★★☆☆☆]

x軸からの切り取り.gif
 f(x) = x2 + 2x + c とします。
 図を参照して以下の問いに答えてください。
      
(1) y = f(x) が x 軸から切り取る線分の長さ L(c) を表す式を求めて、c を横軸にして y = L(c) のグラフの概形を描いてください。

(2) y = f(x) の頂点 P から x 軸に垂直に下ろした線分の長さ H(c) を求めてください。

(3) y = f(x) と x 軸によって囲まれた面積 S(c) を求めてください。

(4) 図の灰色で塗られた長方形を面積 T(c) とします。S(c) と T(c) の比

          R = S(c)/T(c)

を求めてください。

 

解答05(解の公式を用います)

(1) f(x) = 0 を解の公式を使って解きます(sqrt は√ のことです):

x = - 1 ±sqrt(1 - c)

 得られた 2 解を α, β(β < α)とおきます。

α = - 1 + sqrt(1 - c)
β = - 1 - sqrt(1 - c)

 求める長さ L(c) は

L(c) = α - β = 2 sqrt(1 - c)

となります。もちろん、この 2 解は実数でなければなりませんから、

c ≦ 1

という条件が付きます。

L(0) = 2, L(1) = 0, L(-∞) = ∞

などを考慮して、無理関数 L(c) のグラフは次のようになります。

問題05L(c).gif

(2) f(x) を平方完成します。

f(x) = (x + 1)2 + c - 1

よって、頂点の座標は (- 1, c - 1) ですが、y 座標は負であることに注意して

H(c) = 1 - c

となります。

(3) f(x) を β から α まで積分すると負の面積が得られます。
 最初から α から β まで逆方向に積分すれば正の面積が得られますが、計算の便宜上 α - β に関する式が欲しいので、まず負の面積を求めてから最後に - 1 をかけて答えを得ることにします。負の面積は S- と書いておきます。頑張って計算すると、

積分計算

が得られます。ここで、

α - β = 2 sqrt(1 - c), α + β = - 2, αβ = c

ですから、これを代入して - 1 をかけると

S = (4/3)(1 - c)3/2

となります。

(4) T(c) = L(c) H(c) = 2(1 - c)3/2 ですから

R = S(c)/T(c) = 2/3

となり、長方形の 2/3 を占めていることがわかります。

思い切りへこみました

 問題作成で大きなへまをやらかしました ...... 皆様の貴重な時間を無駄にしてしまったと思うと、もう何とお詫びしてよいやらわかりません。間違いの根本は私自身の拙い計算力と「検算をしなかった」という実に安易な態度です。S(c) を求める積分で計算間違いをし、R が変数 c を含むという形になり、おかしな問題を作ってしまったのです。「この馬鹿もんがー!」とお叱りください。これからは「検算は最低でも2回」ということを肝に命じておきます。どうかこのブログを見捨てないでください。これからはよりいっそう、受験生の皆様、或いは数学を学ぼうと志す方の役に立つ記事を丹精込めて書いてまいりたいと思いますので、今後ともどうぞよろしくお願いします。

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