2016年05月15日

三角関数を含んだ分数関数の微分

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問題04 三角関数を含んだ分数関数の微分 [高3★★★☆☆]

 (1) cosx + sinx = 0 をみたす最小の正数 α を求めてください。
 (2) 0 ≦ x < α の範囲で f(x) を次のように定義します:


  y = f(x) のグラフの概形を描いてください。

 

解答04(商の微分公式は使わないほうがいいです)

(1) 三角関数の基礎問題です。
  cosx と sinx を合成公式で式を変形します:

三角関数合成公式cosx+sinx

 問題には「最小の正数」と書かれていますから、


 が答えとなります。

(2) 0 ≦ x < 3pi/4 の範囲で考えます。
 f(x) の微分には商の微分公式を用いてもよいのですが、式がごちゃごちゃと見にくくなってしまって間違いやすいです。もう少し見通しを良くするために、f(x) の分母・分子を cosxsinx で割ってみます。

cosxsinx で割る

 ここで u = 1/sinx, v = 1/cosx と変数変換すると、

変数変換

となりますから、あとは合成関数の微分公式を用いて、

合成関数の微分

が得られます。極値をとる x を求めるには f'(x) = 0 とおいて、

u' + v' = 0   (*)

という方程式を解けば良いことがわかります。

uとvの微分

ですから、これを (*) に代入して整理すると、

cos3x - sin3x = 0

が得られます。左辺を因数分解して、

        (cosx - sinx)(cos2x + cosxsinx + sin2x) = 0
        (cosx - sinx)(1 + cosx siny) = 0

したがって、

        cosx = sinx   (a)
        sin2x = −2   (b)

の2つの方程式が得られますが、
(b) が解をもたないことは明らかです(−1 ≦ sin2x < 1)。 よって (a) から

x=π/4

が得られ、このとき f(x) は極値

極値

をとります。 x ⇒ α = 3pi/4 の極限を考えると、分母は 0 に近づき、分子の符号は負になります(cosx < 0, sinx > 0)から、−∞ に発散することがわかります。さらに f(0) = 0 です。以上よりグラフの概形は下図のようになります。

 解答04グラフ.gif

理系英単語C 弧度法


 circular method 弧度法
 circle 円
 radius 半径
 circular constant 円周率
 central angle 中心角
 sector 扇形
 arc 弧
 radian 弧度

 sector は 切り取られた(sect)ものというニュアンスを含む英単語で、「分野、部門、区域、作戦地区」などの意味で用いられます。
 
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