2017年02月25日

ファクトリオン

 階乗のことを英語で factorial とよびますが、factorion という言葉はおそらく普通の辞書には載っていないと思います。 ファクトリオン とは各桁の階乗の合計値が自身と等しくなる数のことです。もっとも小さなファクトリオンは 1 (1! = 1)、その次のファクトリオンは 2 (2! = 2) となります。その次は 145 です。

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

 そして残る数は 40585 だけです。

4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 40585

 十進数の範囲では

1, 2, 145, 40585

以外のファクトリオンは存在しないと証明されています。

ダブルファクトリオン?

 そこで各桁の2重階乗の合計が自身に等しくなる数(ダブルファクトリオン)はどれくらいあるのかと思ってエクセルで調べてみました。ダブルファクトリオンは私が勝手に定義した数で2重階乗を表す英語 double factorial にちなんでいます。2重階乗は

   0!! = (−1)!! = 1
   (2n)!! = 2n・(2n −2) ・・・ 4・2
   (2n + 1)!! = (2n + 1)・(2n − 1) ・・・ 3・1

というように値を2つずつ落として積をとる階乗です。で、ダブルファクトリオンを探してみると、これもまたとても希少な数なのです。

1!! = 1, 2!! = 2, 3!! = 3

ですから、 1, 2, 3 はダブルファクトリオンです。その次は 107 です。

1!! + 0!! + 7!! = 1 + 1 + 7・5・3・1 = 107

で、「次の数はあるかなー」と思いながら 999 まで計算させてみましたが、ダブルファクトリオンは1つもありませんでした。次は4桁の数を調べてみる予定ですけど、かなり体調を崩していて、きちんとしたプログラムを組めない状態です。見つかったら追記に載せますので、もうしばらくお待ちください。
 
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