2017年03月30日

146 カオス

 次のように定義される1変数2次差分方程式を ロジスティック写像 (Logistic map) とよびます。

xn+1 = axn(1-xn)

 ロジスティック写像はパラメータ a によって、その性質が決まります。
 たとえば a = 3.45, x1 = 0.9 としてプロットしてみると ......

 ロジスティック写像周期混合.gif

 このように比較的単調な周期変動を描きます。しかし a が 3.6 を超えると、この写像はその性質を大きく変えます。ためしに a = 3.8 に固定して x1 = 0.2, 0.3, 0.4 と変化させてみます。

 ロジスティック写像カオス@.gif

 初期値がわずかに 0.1 異なるだけで、グラフの形が大きく変わっていきますね。このような初期値鋭敏性 (sensitivity to initial conditions) をもち、非周期的で複雑な振る舞いのことを カオス とよびます。ロジスティック写像がどれほど初期値に対して鋭敏であるのかを示すために、今度はプロット数を n = 200 まで増やして、 x1 = 0.01, 0.02, 0.03 というように初期値を 0.01 刻みで描いてみます。

 ロジスティック写像カオスA.gif

 たとえその差が 0.01 であっても、これほど様相が変わってしまうのです。カオスを生み出す差分方程式は非線形であることが条件となります。ロジスティック写像(離散型ロジスティック方程式)はそのなかでも最も単純な方程式ですから、カオスの教科書の最初に取り上げられます。
 
posted by Blog Cat at 09:22 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数列
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