2017年09月20日

単位円を使って三角関数の具体的な値を求めましょう

 あ、そうそう、最近 BlogCat さんが変なミスを連発して皆さんに迷惑かけてるみたいねー。つい先日も、数学教室の算数コーナーでアップする画像を間違えちゃったりしたみたいねー。慌てて修正してたみたいだけど、問題解いてる側からしたら「はあ? 今さら直したって遅いわよー! 私の時間を返せよー!」てなりますよねー。最悪ねー。ま、このへんにしときましょー。こばと、人の悪口とか言うの好きじゃないしー ...... な、何ですか? とにかく講座を始めましょー。

こばとの数学基礎講座
 三角関数とベクトル編H 三角関数の具体的な値を求めましょう


 以前にお話したように、円周上のベクトルは

円周上のベクトル

で表されます。

 @円周上の位置ベクトル.gif

 今回は θ にいくつかの具体的な値を入れて、ベクトルの成分を確定させてみますよ。
 まずは θ = π/4 から見てみましょー。

 A円周上の位置ベクトル45.gif

 これは簡単ねー。x 座標と y 座標が等しくなる角度だから、

三角関数の具体的な値45°

となります。次は θ = π/3 です。

 A円周上の位置ベクトル60.gif

 んん? 一見すると「ようわからへんなあ」と迷ってしまうかもしれませんけど、θ = π/3 = 60°は正三角形の角度だってことに気づけば、なんてことないのねー。

B正三角形60.gif

 cos(π/3) は底辺の長さの半分になってるから、 1/2 だってことはすぐにわかります。図の h が sin(π/3) に相当する部分ですが、これは三平方の定理から

三平方の定理

を解いて、h = √3/2 という値が得られます。つまり

三角関数の具体的な値60°

となります。次は θ = π/6 です。

 C円周上の位置ベクトル30.gif

 これは先ほどの三角形を横倒しにした形なので、θ = π/3 のときの x 成分と y 成分を入れ替えるだけです。つまり

三角関数の具体的な値30°

となります。θ = π/2 + π/6 = 2π/3 のように、角度が π/2 を超えるような場合でも、単位円を描けば、三角関数の値を知ることができるのです。

 D円周上の位置ベクトル120.gif

 図にあるように、

三角関数の具体的な値120°

となります。とはいえ、こんなふうに単位円から求められる点はごく限られていて、あらゆる角度について三角関数の値を計算しようと思ったら、微分積分で級数展開式を学ばなくてはなりません。それについてはずっと先のほうでお話する予定ですけど、とりあえず今のところは代表的な角度について素早く三角関数の値を計算できるように練習を繰り返してください。
 

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