2017年01月12日

134 ゆっくりと減衰する関数

 指数関数の中に sinx/x を入れた関数を


と定義し、さらに正弦関数を掛けた関数を


と定義します。

  y=sinxexp(sinx÷x).gif

 赤い実線が y = f(x) 、青い点線が y = h(x) です。
 微積分における有名な極限定理


によって、


となります。 f(x) の振幅は h(x) に沿ってゆっくり減衰します。上の図ではちょっと分かりにくいのですが、じっくり目を凝らすと h(x) と f(x) の極大値が少しずつ 1 に近づいていきます。 x が充分に大きいところでは f(x) ≒ sinx となります。今度は後ろにかかっている sinx を sin(x/2) に置き換えて、


という関数を定義してみます。

 y=sin(x÷2)exp(sinx÷x).gif

 x = 4 のあたりでぐにゃりと曲がっていたりしますが、少しずつ形を整えて、やはり x → ∞ では g(x) ≒ sin(x/2) となります。
 
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